Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

XXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
ΧΧΧΙΙ Μαθηματική Γιορτή
18 Απριλίου 2021 6η τάξη


Πρόβλημα 1. α) Γράψτε στα τετράγωνα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ώστε το γινόμενο των κλασμάτων να είναι ίσο με .



Λύστε αυτό το πρόβλημα και για τις άλλες τρεις αριθμητικές πράξεις:
β) διαίρεση
γ) αφαίρεση
δ) πρόσθεση.


Πρόβλημα 2. α) Η Μαλβίνα χώρισε κάθε έδρα ενός κύβου σε μοναδιαία τετράγωνα και πρόσταξε τον Μπουρατίνο σε μερικά τετράγωνα να γράψει σταυρούς και στα υπόλοιπα μηδενικά έτσι, ώστε κάθε τετράγωνο να συνορεύει κατά πλευρά με δυο σταυρούς και δυο μηδενικά. Στο σχήμα φαίνεται πως ο Μπουρατίνο εκτέλεσε την άσκηση (φαίνονται μόνο τρεις έδρες). Να αποδείξετε ότι ο Μπουρατίνο έσφαλε.
β) Βοηθήστε τον Μπουρατίνο να εκτελέσει την άσκηση σωστά. Αρκεί να περιγράψετε έστω μια αληθή τοποθέτηση.

mmo_2021_6class_pr2.png (26.26 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Πρόβλημα 3. Τα αδέρφια Πέτρος και Βασίλης αποφάσισαν να καταγράψουν ένα αστείο βίντεο και να το ανεβάσουν στο διαδίκτυο. Αρχικά κατέγραψαν, πως ο καθένας τους πηγαίνει από το σπίτι στο σχολείο, ο Βασίλης πηγαίνει σε λεπτά και ο Πέτρος πηγαίνει σε . Ύστερα ήρθαν σπίτι κάθισαν στον υπολογιστή και άρχισαν να μοντάρουν το βίντεο: φόρτωσαν ταυτόχρονα το βίντεο του Βασίλη από την αρχή και το βίντεο του Πέτρου από το τέλος (με ανάποδη φορά, προς τα πίσω). Την στιγμή κατά την οποία και στον δυο τα βίντεο τα αδέρφια βρέθηκαν στο ίδιο σημείο της διαδρομής ένωσαν το βίντεο του Βασίλη με του Πέτρου. Προέκυψε ένα βίντεο, στο οποίο ο Βασίλης πηγαίνει από το σπίτι στο σχολείο και ύστερα κάποια στιγμή απότομα μετατρέπεται στον Πέτρο και πηγαίνει σπίτι με την όπισθεν. Πόση διάρκεια έχει το βίντεο;


Πρόβλημα 4. Στο εσωτερικό τετραγωνισμένου ορθογωνίου περιμέτρου τετραγώνων (κελιών) κατά μήκος των κελιών (πλέγματος) αποκόπηκε (σχηματίστηκε τρύπα) ορθογώνιο περιμέτρου κελιών. Η τρύπα δεν περιέχει συνοριακά κελιά. Αν κόψουμε αυτό το σχήμα κατά μήκος όλων των οριζόντιων γραμμών του πλέγματος, προκύπτουν λωρίδες πλάτους ενός κελιού. Πόσες λωρίδες σχηματίζονται, αν αντί για αυτού κόψουμε το σχήμα κατά μήκος των κατακόρυφων γραμμών του πλέγματος; (Για παράδειγμα το πρώτο σχήμα είναι επιτρεπτό ενώ το δεύτερο όχι. Το τετράγωνο θεωρείται και αυτό λωρίδα!)

mmo_2021_6class_pr4.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Πρόβλημα 5. Ένας βασιλιάς υποσχέθηκε ανταμοιβή, σε αυτόν που θα μπορέσει σε μια βραχώδη έρημο να φυτέψει ένα όμορφο κήπο με φρούτα. Δυο αδέρφια έμαθαν για αυτή την αμοιβή. Ο μεγάλος κατάφερε να σκάψει τρύπες (βλέπε πρώτο σχήμα). Πουθενά αλλού δεν μπόρεσε να ανοίξει τρύπα παρά μόνο κατάφερε να σπάσει όλα τα φτυάρια του. Ο βασιλιάς εξοργίστηκε και τον πέταξε στο μπουντρούμι. Τότε ο μικρός αδερφός Ιβάν πρότεινε να φυτέψει μηλιές, αχλαδιές και δαμασκηνιές στις κορυφές ίσων τριγώνων (βλέπε δεύτερο σχήμα) και τις υπόλοιπες τρύπες να τις γεμίσει.

mmo_2021_6class_pr5.png (47.19 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Ο βασιλιάς του απάντησε ως εξής:
- Ωραία, αν τα δέντρα κάθε είδους είναι ακριβώς από τρία, και αν θα μεγαλώσουν στις κορυφές ίσων τριγώνων, θα φαίνεται όμορφα. Αλλά τρία είδη είναι πολύ λίγα. Αν εκτός από μηλιές, αχλαδιές και δαμασκηνιές θα υπάρχουν και βερικοκιές τότε θα ελευθερώσω τον αδερφό σου. Αν προσθέσεις και πέμπτο είδος, κερασιά, θα σε ανταμείψω για τον κόπο σου. Μου αρέσουν επίσης οι αμυγδαλιές, αλλά εδώ έξη τρίγωνα δε θα μπορέσεις να τοποθετήσεις.
- Και αν θα μπορέσω;
- Τότε ζήτα ότι θες!
- Ο Ιβάν σκέφτηκε, δε παίρνω και το μισό βασίλειο επί την ευκαιρία. Σκεφτείτε και εσείς, τοποθετήστε όσο το δυνατόν περισσότερα είδη δέντρων στις κορυφές ίσων τριγώνων. (Η ισότητα των τριγώνων σημαίνει την ισότητα όλων των πλευρών τους και γωνιών τους, δηλαδή η πλήρης ταύτισή τους με επανάθεση τους ενός στο άλλο. τα τρίγωνα μπορούν να περιστρέφουν και να αναποδογυριστούν. Σε μια τρύπα μπορεί να φυτευτεί μόνο ένα δέντρο.)


Πρόβλημα 6. Στην βιτρίνα ενός κοσμηματοπωλείου βρίσκονται διαμάντια. Δίπλα τους βρίσκονται ετικέτες με την ένδειξη της μάζας τους, στις οποίες είναι γραμμένα καράτια. Ο κοσμηματοπώλης έχει ένα ζυγό ισορροπίας με πιατέλες και τέσσερα σταθμά μάζας και καρατιών. Στον πελάτη επιτρέπεται μόνο ένα είδος ζύγισης: να τοποθετήσει ένα από τα διαμάντια στην μία πιατέλα και τα σταθμά στην άλλη και να αποφανθεί αν η ένδειξη της μάζας στην αντίστοιχη ετικέτα είναι αληθής. Ωστόσο για κάθε σταθμό που παίρνει ο πελάτης πρέπει να πληρώσει των κοσμηματοπώλη μονέτες. Αν το σταθμό αφαιρείτε από την ζυγαριά και στην επόμενη ζύγιση δεν συμμετέχει, ο κοσμηματοπώλης την παίρνει πίσω. Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό που πρέπει να πληρώσει κάποιος, ώστε να εξετάσει την μάζα όλων των διαμαντιών;


Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.

[Joaakim]

XXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
ΧΧΧΙΙ Μαθηματική Γιορτή
18 Απριλίου 2021 6η τάξη


Πρόβλημα 1. α) Γράψτε στα τετράγωνα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ώστε το γινόμενο των κλασμάτων να είναι ίσο με .



Λύστε αυτό το πρόβλημα και για τις άλλες τρεις αριθμητικές πράξεις:
β) διαίρεση
γ) αφαίρεση
δ) πρόσθεση.

Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.

Για το α)
Έχουμε την σχέση .
Παρατηρούμε ότι αν , τότε το θα είναι ή πολλαπλάσιο του ή του (ή και τα δύο),
όμως το δεν είναι πολλαπλάσιο ούτε του , ούτε του . Άρα , και θα έχουμε μία λύση για .
Τότε , και θα έχουμε μία λύση για . Άρα μία λύση είναι η .

Για το β)
Έχουμε την ίδια τετράδα με παραπάνω, απλά οι τιμές των είναι ανάποδα, άρα μία λύση είναι η .

Διαγράφω την απάντησή μου για τα γ), δ) γιατί είναι λανθασμένα.

[Mihalis_Lambrou]

Για το γ) (εννοείς το δ)
...
Άρα μία λύση είναι η .

Για το δ) (εννοείς το γ))
...
Άρα μία λύση είναι η .

Για ξαναδές τα αυτά. Πέρα από τα δευτερεύοντα τυπογραφικά σφάλματα γ) δ)

η άσκηση ζητά τα να είναι διαφορετικά.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 2. α) Η Μαλβίνα χώρισε κάθε έδρα ενός κύβου σε μοναδιαία τετράγωνα και πρόσταξε τον Μπουρατίνο σε μερικά τετράγωνα να γράψει σταυρούς και στα υπόλοιπα μηδενικά έτσι, ώστε κάθε τετράγωνο να συνορεύει κατά πλευρά με δυο σταυρούς και δυο μηδενικά. Στο σχήμα φαίνεται πως ο Μπουρατίνο εκτέλεσε την άσκηση (φαίνονται μόνο τρεις έδρες). Να αποδείξετε ότι ο Μπουρατίνο έσφαλε.
β) Βοηθήστε τον Μπουρατίνο να εκτελέσει την άσκηση σωστά. Αρκεί να περιγράψετε έστω μια αληθή τοποθέτηση.

Παροτρύνω τους μαθητές μας να ασχοληθούν με τις εδώ ασκήσεις γιατί είναι πάρα πολύ ωραίες. Για την παραπάνω:

α) Ο μαθητής σίγουρα κάνει λάθος. Πραγματικά, κοιτάμε το πάνω αριστερά κύβακι, και συγκεκριμένα την την κρυμμένη έδρα του. Επειδή το κυβάκι αυτό έχει μία έδρα με Ο η οποία ήδη συνορεύει με δύο Χ, πρέπει η κρυμμένη έδρα να είναι Ο. Από την άλλη επειδή το ίδιο αυτό κυβάκι αυτό έχει μία έδρα με Χ η οποία ήδη συνορεύει με δύο Ο, πρέπει η κρυμμένη έδρα να είναι Χ. Φτάσαμε σε αντίφαση.

β) Θεωρούμε ότι ο μεγάλος κύβος απότελείται από δύο είδη μικρών κύβων, τους λευκούς και τους γαλάζιους, όπως στο σχήμα. Στους λευκούς βάζουμε τα Ο και στους γαλάζιους τα Χ. Τελειώσαμε.

[Joaakim]

Για το γ) (εννοείς το δ)
...
Άρα μία λύση είναι η .

Για το δ) (εννοείς το γ))
...
Άρα μία λύση είναι η .

Για ξαναδές τα αυτά. Πέρα από τα δευτερεύοντα τυπογραφικά σφάλματα γ) δ)

η άσκηση ζητά τα να είναι διαφορετικά.

Πράγματι.

Για το γ) (αφαίρεση)
Έχουμε την σχέση .
Άρα το είναι πολλαπλάσιο του . Ελέγχουμε για .
Τότε έχω .
Άρα μία τετράδα είναι η .

Για το δ) (πρόσθεση)
Έχουμε την σχέση .
Άρα το είναι πολλαπλάσιο του . Ελέγχουμε για .
Τότε έχω .
Έτσι μία τετράδα είναι η .

[Mihalis_Lambrou]

Πράγματι.

Όλα εξαιρετικά.