Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών για τα οποία, αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των , τότε
Πρόβλημα 2: Εννέα μέλη μιας επιτροπής ψηφίζουν για να εκλέξουν πρόεδρο. Υπάρχουν τρεις υποψήφιοι πρόεδροι και κάθε μέλος τους κατατάσσει σε μια σειρά δίνοντας βαθμούς στον πρώτο, βαθμούς στον δεύτερο και βαθμό στον τελευταίο.
Στο τέλος της ψηφοφορίας προστέθηκαν οι βαθμοί κάθε υποψηφίου και παρατηρήθηκε ότι κάθε υποψήφιος πήρε διαφορετικό σύνολο βαθμών και έτσι υπήρξε μια ξεκάθαρη τελική κατάταξη των υποψηφίων. Παρατηρήθηκε επίσης ότι αν το κάθε μέλος επέλεγε μόνο έναν υποψήφιο, τον πρώτο του, τότε η τελική κατάταξη των υποψηφίων θα ήταν ανάποδη.
Να βρείτε την τελική βαθμολογία του κάθε υποψηφίου.
Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω το μέσον του . Από το σημείο φέρουμε ευθεία που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα έτσι ώστε . Αν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Πρόβλημα 4: Αν , θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
Πρόβλημα 2: Εννέα μέλη μιας επιτροπής ψηφίζουν για να εκλέξουν πρόεδρο. Υπάρχουν τρεις υποψήφιοι πρόεδροι και κάθε μέλος τους κατατάσσει σε μια σειρά δίνοντας βαθμούς στον πρώτο, βαθμούς στον δεύτερο και βαθμό στον τελευταίο.
Στο τέλος της ψηφοφορίας προστέθηκαν οι βαθμοί κάθε υποψηφίου και παρατηρήθηκε ότι κάθε υποψήφιος πήρε διαφορετικό σύνολο βαθμών και έτσι υπήρξε μια ξεκάθαρη τελική κατάταξη των υποψηφίων. Παρατηρήθηκε επίσης ότι αν το κάθε μέλος επέλεγε μόνο έναν υποψήφιο, τον πρώτο του, τότε η τελική κατάταξη των υποψηφίων θα ήταν ανάποδη.
Να βρείτε την τελική βαθμολογία του κάθε υποψηφίου.
Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω το μέσον του . Από το σημείο φέρουμε ευθεία που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα έτσι ώστε . Αν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Πρόβλημα 4: Αν , θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε
τότε να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Θέτουμε όπου και η σχέση γίνεται δηλαδή
όποτε
Για η δοθείσα γράφεται αντίστοιχα
Από αυτές εύκολα βρίσκουμε ότι λύσεις παράγουν οι 2η και η 4η εξίσωση, τις και , αντίστοιχα.
Πράγματι, η 1η είναι φανερά αδύνατη, αφού θετικοί ακέραιοι. Η 3η επίσης είναι αδύνατη, αφού είναι πολλαπλάσια του .
Η 2η γράφεται και η 4η
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Θέτουμε αρχικά και έχουμε να βρούμε το ελάχιστο του
όταν
Η λύση μου βασίζεται στην παρατήρηση ότι η ισότητα στην συνθήκη πιάνεται όταν οπότε θέτω
και η συνθήκη γράφεται και θέλουμε το ελάχιστο του .
Από την ΑΜ-ΓΜ είναι
Από σταθμισμένη ΑΜ-ΓΜ είναι τότε
με ισότητα όταν άρα
Μάγκος Θάνος
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Έστω οι υποψήφιοι και η σειρά της ψηφοφορίας είναι:Demetres έγραψε: ↑Σάβ Απρ 03, 2021 8:29 pm
Πρόβλημα 2: Εννέα μέλη μιας επιτροπής ψηφίζουν για να εκλέξουν πρόεδρο. Υπάρχουν τρεις υποψήφιοι πρόεδροι και κάθε μέλος τους κατατάσσει σε μια σειρά δίνοντας βαθμούς στον πρώτο, βαθμούς στον δεύτερο και βαθμό στον τελευταίο.
Στο τέλος της ψηφοφορίας προστέθηκαν οι βαθμοί κάθε υποψηφίου και παρατηρήθηκε ότι κάθε υποψήφιος πήρε διαφορετικό σύνολο βαθμών και έτσι υπήρξε μια ξεκάθαρη τελική κατάταξη των υποψηφίων. Παρατηρήθηκε επίσης ότι αν το κάθε μέλος επέλεγε μόνο έναν υποψήφιο, τον πρώτο του, τότε η τελική κατάταξη των υποψηφίων θα ήταν ανάποδη.
Να βρείτε την τελική βαθμολογία του κάθε υποψηφίου.
πρώτος, δεύτερος , τρίτος.
Έστω οι βαθμοί του στην ψηφοφορία και οι βαθμοί που πήραν όταν επιλεκτηκαν πρώτοι τότε:
(1)
(2)
. (3)
. (4)
(1),(4) δεινή
Αν έχει επίλεκτη σαν πρώτος τουλάχιστον φορές τότε αδύνατο
(4) δεινή ότι επιλεκτικές τουλάχιστον φορές . Οπότε
(2),(4) δεινή ,,
Αν στους αγώνες που ο δεν βγεικε πρώτος υπάρχει τουλάχιστον μία φορά δεύτερος τότε αδύνατο αφού
Οπότε .
Άρα :
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021
Δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c6h4208
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες