Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

#1

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζευγάρια των πρώτων αριθμών (p,q)

για τα οποία ισχύει η εξίσωση $\displaystyle 5pq^2+p = q^3+15p^3+7$

Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y,z,\omega$ τέτοιοι ώστε xy=1

και $z\omega=1$ . Αν A,B

είναι οι αριθμοί
$\displaystyle A = (x+z)(y+z)(x+\omega)(y+\omega)$
$\displaystyle B = (x\omega + yz)(xz + y\omega)$
να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της διαφοράς A-B

.

Πρόβλημα 3: Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\varGamma\varDelta$ και έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του. Οι παράλληλες ευθείες από τα σημεία $\varGamma$ και $\varDelta$ προς τις $B\varDelta$ και $A\varGamma$ αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο $\varPi$ . Η ευθεία $B\varPi$ τέμνει τις $A\varGamma$ και $\varGamma\varDelta$ στα σημεία

και

αντίστοιχα. Αν

το σημείο τομής των ευθειών $\varGamma\varPi$ και $\varDelta K$ να αποδείξετε:
(α) Η ευθεία

περνά από το μέσο του $\varDelta\varPi$
(β) $\varDelta Z = 2\varGamma Z$

Πρόβλημα 4: Δύο παιδιά, ο Νικόλας και ο Γιώργος παίζουν μερικές φορές ένα παιχνίδι στο οποίο ο νικητής συγκεντρώνει

πόντους και ο χαμένος

πόντους, όπου x,y

είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με x > y

. Υποθέτουμε ότι σε κάθε παιχνίδι ένα από τα παιδιά είναι ο νικητής και ο άλλος ο χαμένος.

Αφού έπαιξαν ορισμένα παιχνίδια, ο Νικόλας συγκέντρωσε συνολικά 147

πόντους και ο Γιώργος συγκέντρωσε συνολικά 123

πόντους. Αν ξέρουμε ότι ο Γιώργος κέρδισε

παιχνίδια, να βρείτε τα

και

.

2nisic · #2

Πρόβλημα 1:
Αν p,q

διάφορη του 2 τότε άρτιος=περιττός.
Άρα p=2

η

:

Αν

έχουμε:

που σημαίνει 5|q

τα

δέχτη

Αν q=2

τοτε:

που σημαίνει p=5

που δεν είναι δέχτη

Άρα (p,q):(2,5)

Manolis Petrakis · #3

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:20 pm

Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y,z,\omega$ τέτοιοι ώστε και $z\omega=1$ . Αν είναι οι αριθμοί
$\displaystyle A = (x+z)(y+z)(x+\omega)(y+\omega)$
$\displaystyle B = (x\omega + yz)(xz + y\omega)$
να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της διαφοράς .

Είναι

$=B+4+2(xw+yw+zy+zx)\geq B+4+8\sqrt[4]{(xyzw)^2}$
=B+4+8=B+12

Άρα $A-B\geq 12$

2nisic · #4

Έστω

το πλήθος των νικών του Νικόλα τότε:
ax+6y=147

Με πρόσθεση έχουμε a+6|270

Με αφερεση έχουμε a-6|24

Και εστί έχουμε a=9or12

Αλλά

αλλιώς θα πρέπει 2|147

Άρα

.

2nisic · #5

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:49 pm

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:20 pm

Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y,z,\omega$ τέτοιοι ώστε και $z\omega=1$ . Αν είναι οι αριθμοί
$\displaystyle A = (x+z)(y+z)(x+\omega)(y+\omega)$
$\displaystyle B = (x\omega + yz)(xz + y\omega)$
να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της διαφοράς .

Είναι

$=B+4+2(xw+yw+zy+zx)\geq B+4+8\sqrt[4]{(xyzw)^2}$

Άρα $A-B\geq 12$

Και η τιμή

είναι όντως εφικτή με x=y=z=w=1

.Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 12

KARKAR · #6

: Κυπριακή JMBO.png (21.62 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Τα παραλληλόγραμμα $\Pi DOC$ και $\Pi OBC$ , καθιστούν το

βαρύκεντρο του $\Pi OC$ .

Η συνέχεια σχεδόν προφανής ...

Joaakim · #7

Το Πρόβλημα 2 είναι και η άσκηση 3.60 στην σελίδα 138 του βιβλίου <<Αλγεβρικές Ανισότητες>> του κυρίου Μπάμπη Στεργίου σε παραπλήσια μορφή.

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Μέλη σε σύνδεση