Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:08 pm

ΘΕΜΑ 1
Έστω AB χορδή κύκλου κέντρου O και C σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε \angle ABC=30^{\circ} (το σημείο O βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ABC). Αν D σημείο του τμήματος AB ώστε \angle DCO=\angle OCB =20^{\circ}, να βρείτε το μέτρο της γωνίας \angle CDO.


ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε το μικρότερο θετικό ακέραιο n\geq 2 για τον οποίο ο αριθμός n+6 είναι πρώτος και ο αριθμός 9n+7 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.


ΘΕΜΑ 3
Στο επίπεδο δίνονται 51 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός.
Να δείξετε ότι τουλάχιστον το 49% αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 08, 2020 4:15 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:08 pm
ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε το μικρότερο θετικό ακέραιο n\geq 2 για τον οποίο ο αριθμός n+6 είναι πρώτος και ο αριθμός 9n+7 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
9n+7=m^2 αλλά m^2\equiv 7(mod9)\Leftrightarrow m=9k\pm 4 (1)
Για m=22\Leftrightarrow 9n+7=484\Leftrightarrow n=53
Είναι n+6=59: πρώτος
Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει μικρότερος n που να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες
Λόγω της (1) παίρνουμε τις εξής 4 τιμές του m (μικρότερες του 22):
4,5,13,14
m=4\Leftrightarrow n=1 αδύνατο
m=5\Leftrightarrow n=2\Leftrightarrow n+6=8 σύνθετος
m=13\Leftrightarrow n=18\Leftrightarrow n+6=24 σύνθετος
m=14\Leftrightarrow n=21\Leftrightarrow n+6=27 σύνθετος
Άρα m_{min}=22 για n=53
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Παρ Νοέμ 13, 2020 1:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 10, 2020 3:59 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:08 pm
ΘΕΜΑ 3
Στο επίπεδο δίνονται 51 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός.
Να δείξετε ότι τουλάχιστον το 49% αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί.
Ονομάζουμε ένα σημείο άρτιο αν το άθροισμα των συντεταγμένων του είναι άρτιο. Αλλιώς το ονομάζουμε περιττό. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τετράγωνο της απόστασης δύο σημείων είναι άρτιο αν και μόνο αν είναι είτε και τα δύο σημεία άρτια είτε και τα δύο περιττά. Από εδώ είναι άμεσο ότι και η απόσταση των δύο σημείων είναι άρτια αν και μόνο αν είναι είτε και τα δύο σημεία άρτια είτε και τα δύο περιττά.

Αν έχουμε x άρτια και y περιττά σημεία (x+y=51) τότε από τις \binom{51}{2} = 51 \cdot 25 αποστάσεις είναι άρτιες τουλάχιστον οι

\displaystyle  \frac{x(x-1)}{2} + \frac{y(y-1)}{2} = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2 - 2(x+y)}{4} \geqslant \frac{51^2 + 1 - 102}{4} = \frac{51 \cdot 50-50}{4}

Άρα το ποσοστό των άρτιων αποστάσεων είναι τουλάχιστον

\displaystyle \frac{51 \cdot 50-50}{4 \cdot 51\cdot 25} = \frac{1}{2} - \frac{50}{5100} > 0.5 - 0.01 = 0.49


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 31, 2020 1:32 am

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:08 pm
ΘΕΜΑ 1
Έστω AB χορδή κύκλου κέντρου O και C σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε \angle ABC=30^{\circ} (το σημείο O βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ABC). Αν D σημείο του τμήματος AB ώστε \angle DCO=\angle OCB =20^{\circ}, να βρείτε το μέτρο της γωνίας \angle CDO.
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τεστ εξάσκησης (3) - ΘΑΛΗΣ 2020

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 31, 2020 9:37 am

Θαλής.png
Θαλής.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Το τρίγωνο AOC είναι ισόπλευρο . Ο κύκλος (C,CO) διέρχεται από το A και τέμνει την AB στο D .

Γενικότερα αν \widehat{OAB}=\theta} , τότε \widehat{OCB}=90^0-\theta} , \widehat{OCD}=2\theta} , οπότε : \widehat{CDO}=90^0-\theta .

Εδώ έχουμε την περίπτωση : \theta=10^0 , τουτέστιν : 30^0-\theta=2\theta=20^0 , επομένως : \widehat{CDO}=80^0 .

Αλλά υπάρχει μοναδικό D της AB , ώστε : \widehat{OCD}=20^0 ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης