Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει

\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τετράπλευρο ABCD και σημείο P στο επίπεδό του τέτοιο ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τις τέσσερις κορυφές του τετράπλευρου ABCD να είναι το ελάχιστο δυνατό. Αν \displaystyle{\{PA,PB,PC,PD\}=\{3,4,6,8\}} να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του εμβαδού του τετράπλευρου ABCD.


ΘΕΜΑ 3
Αν x_1,x_2,...,x_{101}\in \{-1,1\} να βρείτε τη μικρότερη θετική τιμή της παράστασης

\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq 101} x_ix_j.}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 08, 2020 6:07 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 3
Αν x_1,x_2,...,x_{101}\in \{-1,1\} να βρείτε τη μικρότερη θετική τιμή της παράστασης
\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq 101} x_ix_j.}
Είναι:
\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq 101} x_ix_j.}=\frac{1}{2}[(\sum x_i)^2-\sum {x_i}^2]=\frac{1}{2}[(\sum x_i)^2-101]
\Rightarrow Για να είναι \displaystyle{\sum x_ix_j}>0 πρέπει (\sum x_i)^2>101
Έτσι 101<(\sum x_i)^2_{min}=11^2=121 το οποίο δίνεται αν 56 αριθμοί εκ των x_i είναι το 1 και οι υπόλοιποι 45 το -1, (56-45)^2=121
Έτσι \displaystyle{\sum x_ix_j.} _{min_{>0}}=\frac{1}{2}[(\sum x_i)^2-101]_{min_{>0}}=\frac{1}{2}(121-101)=10


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12479
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 08, 2020 6:54 pm

Θαλής Β #2.png
Θαλής Β #2.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές
α) P'A+P'C+P'B+P'D\geq AC+BD , με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται

όταν το P είναι το σημείο τομής των διαγωνίων .

β) E=\dfrac{1}{2}AB\cdot BD\cdot\sin\omega\leq\dfrac{1}{2}9\cdot 12=54 , με το μέγιστο να

επιτυγχάνεται όταν : \omega=90^0 .


Pantelis.N
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pantelis.N » Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:07 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει

\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}
Γεια σας!

Λύνοντας ως προς τον x έχουμε x^2-x(2y+2)-4y-8+4y^2=0

Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow 4(y+1)^2+4(4y+8-4y^2)\geq 0\Leftrightarrow -3y^2+6y+9\geq 0\Leftrightarrow y^2-2y-3\leq 0

Οι ρίζες είναι 3,-1 άρα -1\leq y\leq 3

Λύνοντας ως προς τον y έχουμε 4y^2-y(2x+4)+x^2-2x-8=0

Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow (2x+4)^2+16(2x+8-x^2)\geq 0\Leftrightarrow -3x^2+12x+36\geq 0\Leftrightarrow x^2-4x-12\leq 0

Οι ρίζες είναι 6,-2 άρα -2\leq x\leq 6

Δοκιμάζοντας του ακέραιους εντός των διαστημάτων που βρήκαμε προκύπτουν τα ζεύγη λύσεων της μορφής (x,y) :

(-2,0)(0,-1)(0,2)(4,0)(4,3)(6,2)

edit: Τυπογραφικό
τελευταία επεξεργασία από Pantelis.N σε Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:09 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει

\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}
Απο τα δεδομένα x άρτιος , x=2k.

Η εξίσωση γράφεται

4k^{2}+4y^{2}-4ky-4k-4y-8=0\Rightarrow k^{2}+y^{2}-(ky+k)-y-8=0\Rightarrow k^{2}-k(y+1)+y^{2}-y-8=0

που έχει διακρίνουσα (y+1)^{2}-4(y^{2}-y-8)=6y+9-3y^{2}\geq 0\Rightarrow y\in [-1,3]

Ελέγχωντας τις περιπτώσεις προκύπτουν οι λύσεις (x,y)=(0,-1),(0,2),(4,0),(-2,0),(6,2),(4,3)

ΥΓ: Με πρόλαβε ο Παντελής.Την αφήνω για τον κόπο.
τελευταία επεξεργασία από Filippos Athos σε Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ εξάσκησης (2) - ΘΑΛΗΣ 2020

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:14 pm

Pantelis.N έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:07 pm
socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (x,y) για τα οποία ισχύει

\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}
Γεια σας!

Λύνοντας ως προς τον x έχουμε x^2-x(2y+2)-4y-8+4y^2=0

Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow 4(y+1)^2+4(4y+8-4y^2)\geq 0\Leftrightarrow -3y^2+6y+9\geq 0\Leftrightarrow y^2-2y-3\leq 0

Οι ρίζες είναι 3,-1 άρα -1\leq y\leq 3

Λύνοντας ως προς τον y έχουμε 4y^2-y(2x+4)+x^2-2x-8=0

Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow (2x+4)^2+16(2x+8-x^2)\geq 0\Leftrightarrow -3x^2+12x+36\geq 0\Leftrightarrow x^2-4x-12\leq 0

Οι ρίζες είναι 6,-2 άρα -2\leq x\leq 6

Δοκιμάζοντας του ακέραιους εντός των διαστημάτων που βρήκαμε προκύπτουν τα ζεύγη λύσεων της μορφής (x,y) :

(-2,0)(0,1)(0,2)(4,0)(4,3)(6,2)
Εδώ υπάρχει τυπογραφικό στη λύση (0,1) έπρεπε να είναι (0,-1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες