Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm

ΘΕΜΑ 1
Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί της μορφής \displaystyle{\overline{abccba},} όπου b περιττός, διαιρούνται με το 7;


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και σημείο P στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε \angle ABP = \angle PCA. To σημείο Q είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο PBQC να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι \angle QAB = \angle CAP.


ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Νοέμ 08, 2020 3:00 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 1
Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί της μορφής \displaystyle{\overline{abccba},} όπου b περιττός, διαιρούνται με το 7;
Είναι: \overline{abccba}=10^5a+10^4b+10^3c+10^2c+10b+a
=100001a+10010b+1100c=7(14286a+1430b+157c)+c-a
Άρα το a-c είναι πολ/σιο του 7
\Rightarrow a=c ή a-c=7 ή a-c=-7
Έχουμε 9 περιπτώσεις για το a=c, 3 περιπτώσεις για το a-c=7 τις (a,c)=(9,2),(8,1),(7,0) και 2 περιπτώσεις για το a-c=-7 τις (a,c)=(1,8),(2,9) (διότι a\neq 0)
Έτσι έχουμε 14 συνολικά περιπτώσεις για τα a,c
\Rightarrow 14\cdot 5=70 (διότι το b μπορεί να πάρει 5 τιμές, αφού είναι περιττός)


SPYRIDON TZORTZIS
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Δευ Μαρ 16, 2020 3:13 pm

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από SPYRIDON TZORTZIS » Τετ Νοέμ 25, 2020 9:20 pm

Επαναφορά για το 3.

Σ.Τ.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1336
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:06 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.
Σίγουρα είναι σωστή η διατύπωση; Μήπως είναι π.χ. για b \geq0. Βγαίνει περίεργη περιοχή για τα a,b με b <0.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8607
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:34 am

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.
Οι ρίζες του 6x^2 - 24x - 4a είναι οι \frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}. Θέλουμε λοιπόν 0 \leqslant 36+6a \leqslant 36. Για να είναι λοιπόν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου μη αρνητικές πραγματικές πρέπει και αρκεί a \in [-6,0].

Έστω x_1,x_2,x_3 οι ρίζες του x^3 + ax^2 + bx - 8. Τότε (από Vieta) x_1 + x_2 + x_3 = -a και x_1x_2x_3 = 8. Από ανισότητα AM-ΓΜ παίρνουμε -a \geqslant 3 \sqrt[3]{8} = 6, δηλαδή a \leqslant -6.

Επομένως πρέπει a = -6 και οι ρίζες του δεύτερου πολυωνύμου είναι οι x_1 = x_2 = x_3 = 2. Τότε b = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 12.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1336
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:57 am

Demetres έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 10:34 am
Οι ρίζες του 6x^2 - 24x - 4a είναι οι \frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}. Θέλουμε λοιπόν 0 \leqslant 36+6a \leqslant 36. Για να είναι λοιπόν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου μη αρνητικές πραγματικές πρέπει και αρκεί a \in [-6,0].

Έστω x_1,x_2,x_3 οι ρίζες του x^3 + ax^2 + bx - 8. Τότε (από Vieta) x_1 + x_2 + x_3 = -a και x_1x_2x_3 = 8. Από ανισότητα AM-ΓΜ παίρνουμε -a \geqslant 3 \sqrt[3]{8} = 6, δηλαδή a \leqslant -6.

Επομένως πρέπει a = -6 και οι ρίζες του δεύτερου πολυωνύμου είναι οι x_1 = x_2 = x_3 = 2. Τότε b = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 12.
Δημήτρη το παραπάνω ισχύει όταν οι ρίζες είναι τρεις αν δε κάνω λάθος. Εγώ στο σχόλιο μου παραπάνω θεώρησα την γενική περίπτωση, όπου το κυβικό πολυώνυμο μπορεί να έχει και μία μόνο ρίζα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8607
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 27, 2020 12:50 pm

Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 31, 2020 1:34 am

socrates έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και σημείο P στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε \angle ABP = \angle PCA. To σημείο Q είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο PBQC να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι \angle QAB = \angle CAP.
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 31, 2020 8:13 am

Το γεωμετρικό θέμα ως λήμμα στην ανάρτηση αυτή .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1336
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 05, 2021 11:30 am

Demetres έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 12:50 pm
Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.
Ναι. Αν και πάλι θεωρώ ότι η διατύπωση είναι προβληματική. Αν κάποιος δώσει ως απάντηση τις τιμές π.χ. a=-2, b=1, γιατί να είναι λάθος η απάντηση;

Για αυτές τις τιμές και τα δυο πολυώνυμα 6x^2-24x-4a και x^3+ax^2+bx-8 έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες. Χάνω κάτι;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης