Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3016
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, και του 2ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα

\displaystyle  
		\begin{cases} 
		\dfrac{1}{x+y}+x=a-1\\[0.3cm] 
		\dfrac{x}{x+y}=a-2\\ 
		\end{cases}
όπου a είναι μια πραγματική παράμετρος.

(α) Να λυθεί το σύστημα όταν a=0.
(β) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση.

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε
\displaystyle  
		\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}.

ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD τέτοιο ώστε D\widehat{A}C=D\widehat{B}C. Έστω O το σημείο τομής των διαγωνίων του, και έστω P και Q οι προβολές του O στις πλευρές AD και BC, αντίστοιχα. Αν Μ και N είναι τα μέσα των πλευρών AB και CD, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι MN\perp PQ.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 07, 2020 4:04 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε
\displaystyle  
		\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}.
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}+\frac{1}{xy}\Leftrightarrow 3x+3y=3+xy
\Leftrightarrow x(y-3)=3y-3
Αν y=3 αδύνατο
Αν y\neq 3\Leftrightarrow x=\frac{3y-3}{y-3}\Leftrightarrow x=3+\frac{6}{y-3}
Άρα y-3/6 και y\in \mathbb{N}^*
\Rightarrow Πιθανές τιμές y: 1,2,4,5,6,9
y=1\Leftrightarrow x=0 Άτοπο
y=2\Leftrightarrow x=-3 Άτοπο
y=4\Leftrightarrow x=9
y=5\Leftrightarrow x=6
y=6\Leftrightarrow x=5
y=9\Leftrightarrow x=4
Άρα τα ζεύγη λύσεων που έχουμε είναι:
(x,y)=(4,9),(9,4),(5,6),(6,5)


Pantelis.N
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm

Re: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pantelis.N » Κυρ Νοέμ 08, 2020 4:26 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα

\displaystyle  
		\begin{cases} 
		\dfrac{1}{x+y}+x=a-1\\[0.3cm] 
		\dfrac{x}{x+y}=a-2\\ 
		\end{cases}
όπου a είναι μια πραγματική παράμετρος.

(α) Να λυθεί το σύστημα όταν a=0.
(β) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Μία προσπάθεια, δεν ξέρω αν η λύση μου είναι σωστή.

Καταρχάς είναι x\neq -y


Για το (α) :

Αν x=0

Προκύπτει \frac{0}{y}= -2 , άτοπο.

Για x\neq 0 πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με x και προκύπτει \frac{x}{x+y}+x^2=-x


Αφαιρώντας από την δεύτερη λαμβάνουμε x^2+x-2=0 με ρίζες 1,-2

Τα ζεύγη λύσεων που παίρνουμε έπειτα από πράξεις είναι (x,y)=(1,-\frac{3}{2}) και (x,y)=(-2,3)

Για το (β):

Αν x=0 προκύπτει a=2 και y=1 (αντίστροφα αν a=2 μοναδική λύση (x,y)=(0,1))

Για x\neq 0 πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με x και αφαιρώντας από την δεύτερη προκύπτει x^2+x(1-a)+a-2=0 (1)

Επειδή ο x είναι δευτεροβάθμιος όρος και οι υπόλοιποι πρωτοβάθμιοι, αν ο x λαμβάνει μία μόνο τιμή, τότε θα λαμβάνει και ο y μία μόνο τιμή.

Συνεπώς αρκεί η δευτεροβάθμια εξίσωση (1) να έχει διπλή ρίζα.

Άρα \Delta =0\Leftrightarrow (1-a)^2-4(a-2)=0\Leftrightarrow (a-3)^2=0 άρα a=3 και προκύπτει y=0 και x=1


Αρα a=3 ή a=2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 19 επισκέπτες