Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3016
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός N ο οποίος είναι τέλειο τετράγωνο, με όλα τα ψηφία του να είναι μικρότερα του επτά. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του N κατά τρία παίρνουμε πάλι ένα τέλειο τετράγωνο. Να βρεθεί ο αριθμός N.

ΘΕΜΑ 2. Έστω I το έγκεντρο ενός τριγώνου ABC. Οι ευθείες AI, BI, και CI τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στα σημεία A_1, B_1, και C_1, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ευθεία AA_1 είναι κάθετη στην B_1C_1.

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

\displaystyle \begin{cases} 
		x+y^2+z^3=3\\ 
		y+z^2+x^3=3\\ 
		z+x^2+y^3=3\\ 
		\end{cases}

είναι η x=y=z=1.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 07, 2020 6:23 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός N ο οποίος είναι τέλειο τετράγωνο, με όλα τα ψηφία του να είναι μικρότερα του επτά. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του N κατά τρία παίρνουμε πάλι ένα τέλειο τετράγωνο. Να βρεθεί ο αριθμός N.
Έστω K^2=N=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d
Και L^2=M=\overline{(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)}=1000(a+3)+100(b+3) =10(c+3)+d+3=N+3333
\Rightarrow (L-K)(L+K)=3333 με L,K διψήφιοι διότι αν L,K\geq 100\Rightarrow K,L\geq 10000 άτοπο
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
\cdot L+K=101 ,L-K=3\cdot 11\Rightarrow L=67,K=34
\cdot L+K=101\cdot 3 ,L-K=11\Rightarrow L>100 αδύνατο
\cdot L+K=101\cdot 11 ,L-K=3\Rightarrow L>100 αδύνατο
\cdot L+K=101\cdot 11\cdot 3 ,L-K=1\Rightarrow L>100 αδύνατο
Άρα K=34\Rightarrow N=K^2=34^2=1156


StamatisGoudis
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2020 2:02 pm

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από StamatisGoudis » Σάβ Νοέμ 07, 2020 6:32 pm

Καλησπέρα,
Μια λύση για το 2
Αρκεί ν.δ.ο. \angle A_{1}AC_{1} + \angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}
Είναι: \angle AC_{1}B_{1}=\angle B_{1}BC=\frac{\angle B}{2} (1) 
 
\angle BAC_{1}= \angle BCC_{1} = \frac{\angle C}{2} (2) 
 
\angle A_{1}AB \equiv \angle IAB = \frac{\angle A}{2} (3)

Με πρόσθεση των (1), (2), (3) έχουμε το ζητούμενο.

Επιπλέον, η B_{1}C_{1} θα είναι μεσοκάθετος της AI, αφού από γνωστό λήμμα: B_{1}A=B_{1}I=B_{1}C και C_{1}A=C_{1}I=C_{1}B


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:07 pm

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

\displaystyle \begin{cases} 
		x+y^2+z^3=3\\ 
		y+z^2+x^3=3\\ 
		z+x^2+y^3=3\\ 
		\end{cases}

είναι η x=y=z=1.
Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις προκύπτει, (x+y^2+z^3)(x^2+y^3+z)(x^3+y+z^2)=27. Από Hölder όμως, 27=(x+y^2+z^3)(x^2+y^3+z)(x^3+y+z^2) \geqslant (x^2+y^2+z^2)^3, συνεπώς x^2+y^2+z^2 \leqslant 3.
(προκύπτει και αλλιώς: προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε \displaystyle \sum (x^3+x)+\sum x^2=9, και αφού από ΑΜ-ΓΜ, \displaystyle \sum (x^3+x) \geqslant 2 \sum x^2, προκύπτει \displaystyle \sum x^2 \leqslant 3).

Άρα, x+y^2+z^3=3 \geqslant x^2+y^2+z^2, οπότε z^3-z^2 \geqslant x^2-x, και οι κυκλικές σχέσεις: y^3-y^2 \geqslant z^2-z, και x^3-x^2 \geqslant y^2-y.
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: x<1. Τότε, y^2-y \leqslant x^3-x^2 <0, επομένως y<1 και όμοια z^2-z \leqslant y^3-y^2<0 άρα και z<1. Όμως τότε, 3=x+y^2+z^3<3, άτοπο.
Περίπτωση 2: x>1. Τότε, z^3-z^2 \geqslant x^2-x>0, άρα z>1 και όμοια y^3-y^2 \geqslant z^2-z>0, συνεπώς y>1. Όμως τότε, 3=x+y^2+z^3>3, άτοπο.
Περίπτωση 3: x=1. Τότε, z^3-z^2 \geqslant 0, άρα z \geqslant 1, y^3-y^2 \geqslant z^2-z, άρα y \geqslant 1, και 0=x^3-x^2 \geqslant y^2-y \geqslant 0, συνεπώς ισχύει η ισότητα. Δηλαδή, (x,y,z)=(1,1,1).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13399
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 08, 2020 9:36 am

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 2. Έστω I το έγκεντρο ενός τριγώνου ABC. Οι ευθείες AI, BI, και CI τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στα σημεία A_1, B_1, και C_1, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ευθεία AA_1 είναι κάθετη στην B_1C_1.
Τα A_1, B_1, C_1 είναι τα μέσα των τόξων \overset\frown{BC}, \overset\frown{AC}, \overset\frown{AB} αντίστοιχα.
2-Θαλής Β.png
2-Θαλής Β.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
A_1\widehat MB_1=\dfrac{\overset\frown{A_1B_1}+\overset\frown{AC_1}}{2}=\dfrac{\overset\frown{AC}+\overset\frown{BC}+\overset\frown{AB}}{4}=90^\circ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3603
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 08, 2020 10:06 am

achilleas έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ



ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

\displaystyle \begin{cases} 
		x+y^2+z^3=3\\ 
		y+z^2+x^3=3\\ 
		z+x^2+y^3=3\\ 
		\end{cases}

είναι η x=y=z=1.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι z=max(z,x,y)

Εστω z>1
Από την z+x^2+y^3=3 παίρνουμε z^3+x^2+y^3>3
σε συνδιασμό με την  x+y^2+z^3=3 δίνει
x^2+y^3>x+y^2
Η τελευταία αποκλείει να είναι συγχρόνως τα x,y μικρότερα η ίσα του 1 .
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x\leq 1\leq y
Η  y+z^2+x^3=3 δίνει y+z^2+x\geq 3
και σε συνδιασμό με την x+y^2+z^3=3
προκύπτει y^2+z^3\leq y+z^2
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Επειδή δεν μπορεί προφανώς να είναι z<1 αναγκαστικά θα είναι z=1
Επειδή θα έχουμε 0\leq x,y\leq 1
και x^2+y^3=2
θα είναι x=y=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες