Σελίδα 1 από 1

Τεστ Εξάσκησης (48), Μικροί

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 12, 2020 11:56 pm
από socrates
ΘΕΜΑ 1
Αν

\displaystyle{S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}},

και

\displaystyle{T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+...+\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}}.

να γράψετε σε ανάγωγη μορφή το κλάσμα \displaystyle \frac{S}{T}.


ΘΕΜΑ 2
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{\displaystyle{ 6(6a^2 + 3b^2 + c^2) = 5n^2  }}


ΘΕΜΑ 3
Δυο άνισοι κύκλοι τέμνονται στα σημεία M και N.
Από σημείο \Delta της ευθείας MN, που βρίσκεται προς το μέρος του N φέρουμε εφαπτόμενες προς τους δυο κύκλους και έστω \Sigma και T τα σημεία επαφής.
Οι κάθετες στις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής τέμνονται στο K.
Να αποδείξετε ότι KM \perp MN αν και μόνον αν τα σημεία \Sigma,N,T είναι συνευθειακά.


ΘΕΜΑ 4
Έστω \Omega το σύνολο \Omega  = \{1,2,3, . . . ,2020\}. Υποθέτουμε ότι το A είναι υποσύνολο του \Omega τέτοιο, ώστε να έχει την εξής ιδιότητα:
«Αν τα x,y,z είναι διαφορετικά στοιχεία του A, τότε το 2x δεν διαιρεί το y − z
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος των στοιχείων του υποσυνόλου A

Re: Τεστ Εξάσκησης (48), Μικροί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 07, 2020 12:52 am
από socrates
Επαναφορά!

Re: Τεστ Εξάσκησης (48), Μικροί

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 04, 2020 12:27 pm
από 2nisic
Θέμα 1 είναι όμοιο με το θέμα των νέων στην Ρουμανία το 1998.

Re: Τεστ Εξάσκησης (48), Μικροί

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 04, 2020 12:51 pm
από 2nisic
Θέμα 4
Έστω aτο μικρότερο στοιχείο του συνόλου Α τότε:
(2020,2020-2α,......,2020-2kα)
(2019,2019-2α,......,2019-2λα)
......
(2020-2α+1,2020-2α+1-2α,......,2020-2α+1-2μα)
Από κάθε σύνολο μπορώ να πάρω ένα στοιχείο οπότε max|A|=2a +1

Θεωρώ το σύνολο (674,675,....,2020) ή το (673,675,676,677,.......,2020).Και τα δύο σύνολα ικανοποιούν την συνθήκη του προβλήματος και περιέχουν 1347 στοιχεία.

Αν a μικρότερο του 673 τότε το 2α+1 μικρότερο του 1347

Αν a μεγαλυτερο του 674 τότε το σύνολο Α περιέχει λιγότερα από 2020-674=1346 στοιχεία.

Re: Τεστ Εξάσκησης (48), Μικροί

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2021 7:52 pm
από 2nisic
Αν δεν είναι όλοι ίσοι με το 0 θεωρώ (a,b,c,n)=1.
Εύκολα n άρτιος.
Περνώντας mod 8 έχω και b,c άρτιοι
Διεροντας με2και περνώντας πάλη mod8 έχω a άρτιος.
Άδυνατο αφού(a,b,c,n)=1

Άρα μοναδική λύση η:a=b=c=n=0