Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm

ΘΕΜΑ 1
Έστω n ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί 2n+1 και 3n+1 να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός 5n+3 είναι σύνθετος.


ΘΕΜΑ 2
Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Έστω S το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του S.



ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι \Omega_{1}, κέντρου Q, και \Omega_{2}, κέντρου R, εφάπτονται εξωτερικά στο B . Ένας τρίτος κύκλος, ο \Omega_{3}, που περιέχει στο εσωτερικό του τους \Omega_{1} και \Omega_{2}, εφάπτεται στον \Omega_{1} και στον \Omega_{2} στα σημεία A και C, αντίστοιχα. Η ευθεία B C προεκτεινόμενη τέμνει τον \Omega_{3} στο D.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες Q R και A D τέμνονται πάνω στον \Omega_{1}.



ΘΕΜΑ 4
α) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c ικανοποιούν τις σχέσεις |a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-a|\ge 1.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2.
β) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d ικανοποιούν τις σχέσεις |a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-d|\ge 1, |d-a|\ge 1.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2+d^2.
Μπορούμε να γενικεύσουμε;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm
ΘΕΜΑ 1
Έστω n ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί 2n+1 και 3n+1 να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός 5n+3 είναι σύνθετος.
Έστω 2n+1=x^{2}\Rightarrow8n+4=4x^{2},3n+1=y^{2}\Rightarrow 5n+3=(2x-y)(2x+y)

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν ισχύει 2x-y=1
Έστω προς άτοπο 2x-1=y
Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις έχουμε,

2n+1=x^{2},3n+1=y^{2}=(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1

Άρα 6n+3=3x^{2},6n+2=8x^{2}-8x+2\Rightarrow 6n+3-(6n+2)=3x^{2}-(8x^{2}-8x+2)

Τελικά μένουμε με την εξίσωση 5x^{2}-8x+3=0
της οποίας οι λύσεις είναι \frac{8\pm 2}{10}, η μόνη ακαίρεα λύση είναι x=1 που βγάζει n=0 που είναι άτοπο από την εκφώνηση
τελευταία επεξεργασία από Filippos Athos σε Κυρ Ιούλ 26, 2020 8:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιούλ 26, 2020 5:25 pm

Filippos Athos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm
Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις δεν παίρνουμε δέκτες λύσεις. Άρα η άσκηση αποδείχθηκε.
Εντάξει, δεν είναι δύσκολο από δω και πέρα, καλό όμως είναι να γίνουν οι πράξεις.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Ιούλ 26, 2020 8:34 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Ιούλ 26, 2020 5:25 pm
Filippos Athos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm
Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις δεν παίρνουμε δέκτες λύσεις. Άρα η άσκηση αποδείχθηκε.
Εντάξει, δεν είναι δύσκολο από δω και πέρα, καλό όμως είναι να γίνουν οι πράξεις.
Έχετε δίκιο :oops: . Το διόρθωσα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιούλ 27, 2020 4:49 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm
ΘΕΜΑ 2
Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Έστω S το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του S.

Αγνοώντας το 1 οι υπόλοιποι αριθμοί χωρίζονται σε τρεις τριάδες διαδοχικών αριθμών με συνολικό άθροισμα 84. Άρα τουλάχιστον μία από αυτές τις τριάδας έχει άθροισμα τουλάχιστον 28. Δεν μπορούν όλες να έχουν άθροισμα ακριβώς ίσο με 28. Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση η τριάδα που περιέχει το 17 θα είναι αναγκαστικά η \{17,7,4\}. Αλλά τότε δεν υπάρχει ξένη από αυτή τριάδα που περιέχει το 15 με άθροισμα 28.

Επομένως τουλάχιστον μια τριάδα έχει άθροισμα 29, δηλαδή k \geqslant 29. Το k=29 επιτυγχάνεται με την (κυκλική) διάταξη 17,4,7,13,5,11,3,15,9,1


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 12, 2020 11:19 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm
ΘΕΜΑ 4
α) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c ικανοποιούν τις σχέσεις |a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-a|\ge 1.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2.
β) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d ικανοποιούν τις σχέσεις |a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-d|\ge 1, |d-a|\ge 1.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2+d^2.
Μπορούμε να γενικεύσουμε;

Χρήσιμη ταυτότητα:
\displaystyle{3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:40 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm
ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι \Omega_{1}, κέντρου Q, και \Omega_{2}, κέντρου R, εφάπτονται εξωτερικά στο B . Ένας τρίτος κύκλος, ο \Omega_{3}, που περιέχει στο εσωτερικό του τους \Omega_{1} και \Omega_{2}, εφάπτεται στον \Omega_{1} και στον \Omega_{2} στα σημεία A και C, αντίστοιχα. Η ευθεία B C προεκτεινόμενη τέμνει τον \Omega_{3} στο D.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες Q R και A D τέμνονται πάνω στον \Omega_{1}.
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Lymperis Karras και 1 επισκέπτης