Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής 7m^2 − 11n^2

όπου

και

φυσικοί αριθμοί.

ΘΕΜΑ 2
Aν a, b, c>0

να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$

ΘΕΜΑ 3
Για ποιους ακεραίους $n \geq 2$ μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς 1,2,3,..., 16

στα κελιά μιας $4\times 4$ σκακιέρας έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης (δηλ. 4+4 αθροίσματα) να είναι διαφορετικό και να διαιρείται με το

ΘΕΜΑ 4
Έστω το σύνολο $M=\{1,2,3,...,19 \}$ και $A=\{a_1,a_2,...,a_k\}\subset M .$
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

, για την οποία υπάρχουν $a_i,a_j\in A$ που ικανοποιούν την ιδιότητα:
αν $b\in M,$ τότε a_i=b

ή $a_i\pm a_j=b.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 2
Aν να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$

Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$ .
Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$ .
Η ανισότητα γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq 3$
Αυτό ισχύει καθώς $\rm \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq x\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}\geq x^2\Leftrightarrow 1\geq (2-x)x\Leftrightarrow x^2-2x+1\geq 0$ που ισχύει άρα $\rm LHS \geq x+y+z=3$ .

2nisic · #3

Πρόβλημα 4

k=5 παράδειγμα Α={1,2,3,9,16}
Για k<=4 Δείχνω πώς δεν ισχύει

Προκριματικός Κύπρου π4 μεγάλων.

2nisic · #4

Θέμα

Κάνουμε

και έχουμε:

$\displaystyle{LHS \displaystyle{\geq \sum\frac{2}{\frac{a+2c}{a+2b}+1}=\sum \frac{2a+4b}{2(a+b+c)}=3}}$

#5

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm
ΘΕΜΑ 3
Για ποιους ακεραίους $n \geq 2$ μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς στα κελιά μιας $4\times 4$ σκακιέρας έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης (δηλ. 4+4 αθροίσματα) να είναι διαφορετικό και να διαιρείται με το

https://www.mathematica.gr/forum/search ... sf=msgonly

Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση