Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm

ΘΕΜΑ 1
Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής 7m^2 − 11n^2 όπου m και n φυσικοί αριθμοί.


ΘΕΜΑ 2
a, b, c>0 να δείξετε ότι

\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}


ΘΕΜΑ 3
Για ποιους ακεραίους n \geq 2 μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς 1,2,3,..., 16 στα κελιά μιας 4\times 4 σκακιέρας έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης (δηλ. 4+4 αθροίσματα) να είναι διαφορετικό και να διαιρείται με το n;


ΘΕΜΑ 4
Έστω το σύνολο M=\{1,2,3,...,19 \} και A=\{a_1,a_2,...,a_k\}\subset M .
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του k, για την οποία υπάρχουν a_i,a_j\in A που ικανοποιούν την ιδιότητα:
αν b\in M, τότε a_i=b ή a_i\pm a_j=b.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:56 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:24 pm


ΘΕΜΑ 2
a, b, c>0 να δείξετε ότι

\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}

Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω \rm a+b+c=1 οπότε γίνεται \rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3.
Θέτω \rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2 .Θα είναι \rm x+y+z=3.
Η ανισότητα γίνεται \rm \sum \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq 3
Αυτό ισχύει καθώς \rm \sqrt{\dfrac{x}{2-x}}\geq x\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}\geq x^2\Leftrightarrow 1\geq (2-x)x\Leftrightarrow x^2-2x+1\geq 0 που ισχύει άρα \rm LHS \geq  x+y+z=3.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 127
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τρί Ιαν 19, 2021 6:44 pm

Πρόβλημα 4

k=5 παράδειγμα Α={1,2,3,9,16}
Για k<=4 Δείχνω πώς δεν ισχύει


Προκριματικός Κύπρου π4 μεγάλων.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 127
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τρί Ιαν 19, 2021 8:36 pm

Θέμα 2

Κάνουμε GM-HM και έχουμε:

LHS\displaystyle{\geq \sum\frac{2}{\frac{a+2c}{a+2b}+1}=\sum \frac{2a+4b}{2(a+b+c)}=3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες