Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

[socrates]

ΘΕΜΑ 1
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα




ΘΕΜΑ 2
α) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 17 ακεραίους, υπάρχουν 5 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 5. Ισχύει για 16 αριθμούς;
β) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 7 ακεραίους, υπάρχουν 4 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 4. Ισχύει για 6 αριθμούς;
γ) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 2025 ακεραίους, υπάρχουν 729 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9.


ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα αφαιρέσαμε τετράγωνα Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!


ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο με και έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Έστω και τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το στον περιγεγραμμένο κύκλο του με τον κύκλο αυτό. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.


Το Θέμα 1 προτείνει ο miltosk

[Filippos Athos]

ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα αφαιρέσαμε τετράγωνα Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!

Ας βάψουμε την σκακιέρα με αυτόν τον τρόπο

geogebra-export.png (150.34 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Έτσι ώστε κάθε τετραγωνάκι να περιέχει το πολύ σκιασμένο τετράγωνο
Έστω η πλευρά του τετραγώνου.

Αν είναι
τότε έχουμε σκιασμένα τερτράγωνα.

Αν είναι
τότε έχουμε σκιασμένα τερτράγωνα.

Αν είναι
τότε έχουμε σκιασμένα τερτράγωνα.
(οι τύποι ίσως χρειάζονται παιραιτέρω εξήγηση)

Δηλαδή στην περίπτωσή μας
άρα εχουμε σκιασμένα τετράγωνα.Αφαιρώντας τετράγωνα αφαιρούμαι το πολύ σκιασμένα τετραγωνάκια (Αφού καθε τετράγωνο που αφαιρούμαι περιέχει το πολύ σκιασμένο τετραγωνάκι) άρα μένει τουλάχιστον άλλο ένα σκιασμένο τετραγωνάκι,δηλαδή τουλάχιστον άλλο ένα τετραγωνάκι για να αφαιρεθεί.

[2nisic]

Θέμα 2 το γ:

Ανάμεσα σε ακέραιους υπάρχουν τρείς για τους οποίους το άθροισμα τούς διαιρείται με το

Ανάμεσα σε αριθμούς υπάρχουν 5 τριάδες όπου το άθροισμα κάθε τριάδας διαιρείται με το λόγο .Και πάλη λόγο του σε αυτές της πέντε τριάδες υπάρχουν
υπάρχουν τρεις από αυτές των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το . Δηλαδή ανάμεσα σε αριθμούς υπάρχουν που το άθροισμα τούς διαιρείται με το



Και από έχουμε το αποτέλεσμα.