Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}x^{4}-y^{4}=240\\x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{array}\right.$

ΘΕΜΑ 2
α) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 17 ακεραίους, υπάρχουν 5 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 5. Ισχύει για 16 αριθμούς;
β) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 7 ακεραίους, υπάρχουν 4 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 4. Ισχύει για 6 αριθμούς;
γ) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 2025 ακεραίους, υπάρχουν 729 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9.

ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα $29\times 29$ αφαιρέσαμε

τετράγωνα $2\times 2.$ Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD

με

και έστω

το σημείο τομής των ευθειών

και

. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου PCD

τέμνει την ευθεία

στα σημεία

και

. Έστω

και

τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το

στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABCD

με τον κύκλο αυτό. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο QRST

είναι εγγράψιμο.

Το Θέμα 1 προτείνει ο miltosk

Filippos Athos · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:21 pm

ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα $29\times 29$ αφαιρέσαμε τετράγωνα $2\times 2.$ Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!

Ας βάψουμε την σκακιέρα με αυτόν τον τρόπο

: geogebra-export.png (150.34 KiB) Προβλήθηκε 1189 φορές

Έτσι ώστε κάθε $2\cdot 2$ τετραγωνάκι να περιέχει το πολύ

σκιασμένο τετράγωνο
Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.

(1)

Αν

είναι

τότε έχουμε $(\frac{n}{3})^{2}$ σκιασμένα τερτράγωνα.

(2)

Αν

είναι

τότε έχουμε $(\frac{n-1}{3})^{2}$ σκιασμένα τερτράγωνα.

(3)

Αν

είναι

τότε έχουμε $(\frac{n+1}{3})^{2}$ σκιασμένα τερτράγωνα.
(οι τύποι ίσως χρειάζονται παιραιτέρω εξήγηση)

Δηλαδή στην περίπτωσή μας $29\equiv -1mod3$
άρα εχουμε $(\frac{29+1}{3})^{2}=100$ σκιασμένα τετράγωνα.Αφαιρώντας 99,

$2\cdot 2$ τετράγωνα αφαιρούμαι το πολύ

σκιασμένα τετραγωνάκια (Αφού καθε $2\cdot 2$ τετράγωνο που αφαιρούμαι περιέχει το πολύ

σκιασμένο τετραγωνάκι) άρα μένει τουλάχιστον άλλο ένα σκιασμένο τετραγωνάκι,δηλαδή τουλάχιστον άλλο ένα $2\cdot 2$ τετραγωνάκι για να αφαιρεθεί.

2nisic · #3

Θέμα 2 το γ:

Ανάμεσα σε

ακέραιους υπάρχουν τρείς για τους οποίους το άθροισμα τούς διαιρείται με το

Ανάμεσα σε

αριθμούς υπάρχουν 5 τριάδες όπου το άθροισμα κάθε τριάδας διαιρείται με το

λόγο

.Και πάλη λόγο του

σε αυτές της πέντε τριάδες υπάρχουν
υπάρχουν τρεις από αυτές των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το

. Δηλαδή ανάμεσα σε

αριθμούς υπάρχουν

που το άθροισμα τούς διαιρείται με το

Και από

έχουμε το αποτέλεσμα.

#4

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:21 pm
ΘΕΜΑ 1
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}x^{4}-y^{4}=240\\x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{array}\right.$

ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα $29\times 29$ αφαιρέσαμε τετράγωνα $2\times 2.$ Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!

Το Θέμα 1 προτείνει ο miltosk

Επαναφορά!

#5

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:21 pm
ΘΕΜΑ 1
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}x^{4}-y^{4}=240\\x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{array}\right.$

Το Θέμα 1 προτείνει ο miltosk

Μια λύση:

https://artofproblemsolving.com/communi ... 14p2103782

Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση