Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6077
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:21 pm

ΘΕΜΑ 1
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}x^{4}-y^{4}=240\\x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{array}\right.


ΘΕΜΑ 2
α) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 17 ακεραίους, υπάρχουν 5 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 5. Ισχύει για 16 αριθμούς;
β) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 7 ακεραίους, υπάρχουν 4 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 4. Ισχύει για 6 αριθμούς;
γ) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 2025 ακεραίους, υπάρχουν 729 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9.


ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα 29\times 29 αφαιρέσαμε 99 τετράγωνα 2\times 2. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!


ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD με AB<CD και έστω P το σημείο τομής των ευθειών AD και BC. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου PCD τέμνει την ευθεία AB στα σημεία Q και R. Έστω S και T τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το P στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABCD με τον κύκλο αυτό. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο QRST είναι εγγράψιμο.


Το Θέμα 1 προτείνει ο miltosk


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Παρ Ιούλ 31, 2020 5:31 pm

socrates έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:21 pm

ΘΕΜΑ 3
Από μια σκακιέρα 29\times 29 αφαιρέσαμε 99 τετράγωνα 2\times 2. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!
Ας βάψουμε την σκακιέρα με αυτόν τον τρόπο
geogebra-export.png
geogebra-export.png (150.34 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Έτσι ώστε κάθε 2\cdot 2 τετραγωνάκι να περιέχει το πολύ 1 σκιασμένο τετράγωνο
Έστω n η πλευρά του τετραγώνου.

(1)Αν n είναι
0mod3 τότε έχουμε (\frac{n}{3})^{2} σκιασμένα τερτράγωνα.

(2)Αν n είναι
1mod3 τότε έχουμε (\frac{n-1}{3})^{2} σκιασμένα τερτράγωνα.

(3)Αν n είναι
-1mod3 τότε έχουμε (\frac{n+1}{3})^{2} σκιασμένα τερτράγωνα.
(οι τύποι ίσως χρειάζονται παιραιτέρω εξήγηση)

Δηλαδή στην περίπτωσή μας 29\equiv -1mod3
άρα εχουμε(\frac{29+1}{3})^{2}=100 σκιασμένα τετράγωνα.Αφαιρώντας 99, 2\cdot 2 τετράγωνα αφαιρούμαι το πολύ 99 σκιασμένα τετραγωνάκια (Αφού καθε 2\cdot 2 τετράγωνο που αφαιρούμαι περιέχει το πολύ 1 σκιασμένο τετραγωνάκι) άρα μένει τουλάχιστον άλλο ένα σκιασμένο τετραγωνάκι,δηλαδή τουλάχιστον άλλο ένα 2\cdot 2 τετραγωνάκι για να αφαιρεθεί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες