Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1195
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am

Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.



1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το 1 έως το 2020 που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό n ο αριθμός 20n να μην είναι κυανός;


2. Δίνονται οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z \in [0, \dfrac{\pi}{2}]}. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της παράστασης

A= \sqrt[3]{\sin x \cos y} +\sqrt[3]{\sin y \cos z} + \sqrt[3]{\sin z \cos x}  .


3. Στη διαγώνιο BD παραλληλογράμμου ABCD δίνεται σημείο P, που δεν ανήκει στην διαγώνιο AC. Στην ημιευθεία AP δίνεται σημείο Q, ώστε AP=PQ. Από το σημείο Q φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά AB, η οποία τέμνει την πλευρά BC στο σημείο R. Επίσης από το σημείο Q φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά AD, η οποία τέμνει την ευθεία CD στο σημείο S. Να βρείτε την γωνία PRS.


4. Στο οκταδικό σύστημα δίνεται ο αριθμός x=344344\ldots 344, όπου το τριψήφιο κομμάτι 334 επαναλαμβάνεται n φορές. Ο οκταδικός αριθμός y προκύπτει από τον x με κάποια μετάθεση των ψηφίων του. Προέκυψε, η οκταδική αναπαράσταση του αριθμού xy να είναι ίση με 2020\ldots 20. Για ποια n αυτό είναι δυνατόν;


5. Στο σχολείο υπάρχουν 2019 μαθητές. Μια όμορφη μέρα μερικοί από αυτούς χαιρετήθηκαν μεταξύ τους με χειραψία, εξάλλου σε οποιαδήποτε τριάδα μαθητών τουλάχιστον δυο δεν χαιρετήθηκαν. Για ποιο μέγιστο k μπορεί να προκύψει, ότι για οποιοδήποτε n, που δεν υπερβαίνει το k, θα βρεθεί μαθητής, που έχει χαιρετηθεί ακριβώς με n μαθητές;


6. Δυο κανονικές τριγωνικές πυραμίδες έχουν κοινή παράπλευρη έδρα και δεν έχουν άλλα κοινά σημεία. Στις πυραμίδες είναι εγγεγραμμένες σφαίρες ακτίνα r. Μια τρίτη σφαίρα ακτίνας R εφάπτεται εξωτερικά και των δυο πυραμίδων καθώς και των εγγεγραμμένων σφαιρών τους. Να βρείτε την επίπεδη γωνία στην κορυφή των πυραμίδων, αν R:r=2:1.


Πηγή



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 20, 2020 10:25 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am

3. Στη διαγώνιο BD παραλληλογράμμου ABCD δίνεται σημείο P, που δεν ανήκει στην διαγώνιο AC. Στην ημιευθεία AP δίνεται σημείο Q, ώστε AP=PQ. Από το σημείο Q φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά AB, η οποία τέμνει την πλευρά BC στο σημείο R. Επίσης από το σημείο Q φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά AD, η οποία τέμνει την ευθεία CD στο σημείο S. Να βρείτε την γωνία PRS.

326.PNG
326.PNG (22.91 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές
Έστω \rm O,M τα μέσα των τμημάτων \rm BD,CQ αντίστοιχα.Επειδή \rm O\in AC θα είναι \rm BD\parallel CQ.Έτσι τα τρίγωνα \rm BDC,SCQ είναι όμοια \rm \Rightarrow \angle CSM=\angle DCO\Leftrightarrow SR\parallel AC.Όμως από το \rm ACQ παίρνουμε επίσης ότι \rm PM\parallel AC οπότε \rm P,R,S συνευθειακά,\rm \angle PRS=180^{\circ}.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 20, 2020 11:02 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am
Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.



1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το 1 έως το 2020 που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό n ο αριθμός 20n να μην είναι κυανός;
Έστω \rm S={a_1,a_2,...,a_n} το σύνολο των αριθμών που χρωματίστηκαν.
Ορίζω \rm A_1=S\cap [102,2020],A_2=S\cap [6,101],A_3=S\cap [1,5].
Η επιλογή των αριθμών έγινε έτσι ώστε \rm a_i\in A_j\Rightarrow 20a_i\in A_{j-1}.
Οπότε αν \rm \left | X \right | το πλήθος των στοιχείων του \rm X είναι
\rm \left | S \right |=\left | A_1 \right |+\left | A_2 \right |+\left | A_3 \right |\leq 1919-\left | A_2 \right |+\left | A_2 \right |+5=\boxed {1924}.
Η τιμή 1924 μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
\rm A_3=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \},A_2=\left \{ 6,7,..,101 \right \}-\left \{ 20,40,60,80, \right \},A_1=\left \{ 102,103..,2020 \right \}-\left \{ 20a / a\in A_2 \right \}


miltosk
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Σάβ Ιουν 20, 2020 12:02 pm

Για το 2ο:
Από ανισότητα δυνάμεων:
(\frac{A}{3})^3\leq \frac{sinxcosy+sinycosz+sinzcosx}{3}=B
Όμως 2sinxcosy\leq sin^2x+cos^2y
Επομένως: 3B\leq \frac{3}{2}\Rightarrow B\leq \frac{1}{2}
Τελικά: A\leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, με την ισότητα να πιάνεται όταν όλοι είναι \frac{\pi}{4}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Άρης Μερσιέ και 5 επισκέπτες