Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6072
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm

ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων (m, n) για τα οποία ο αριθμός m!n! είναι τέλειο τετράγωνο.


ΘΕΜΑ 2
Έστω M το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία 1, 3, 4, 6, 7, 8 , 9 χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά d δύο διαφορετικών στοιχείων του M.
(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών (x,y) με x, \ y \in M για τα οποία x - y = d.


ΘΕΜΑ 3
Έστω a, b, c \geq  0 με ab + bc + ca = 3. Να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{ \frac{a}{a^2 + 7}+\frac{b}{b^2 + 7}+\frac{c}{c^2 + 7} \leq \frac{3}{8}.}


ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB = AC και M σημείο της πλευράς BC. Έστω N και P οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC, αντίστοιχα. Έστω ακόμη Q το σημείο τομής των ευθειών BP και CN και R το σημείο τομής των AQ και NP.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία MR είναι διχοτόμος της γωνίας \angle NMP.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12193
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 10, 2020 11:39 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων (m, n) για τα οποία ο αριθμός m!n! είναι τέλειο τετράγωνο.
Για οποιονδήποτε φυσικό k παίρνουμε m=k^2, n=m-1. Τότε \displaystyle{m!n!=m(m-1)!n!=mn!n!=k^2(n!)^2=(kn!)^2}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 12:39 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB = AC και M σημείο της πλευράς BC. Έστω N και P οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC, αντίστοιχα. Έστω ακόμη Q το σημείο τομής των ευθειών BP και CN και R το σημείο τομής των AQ και NP.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία MR είναι διχοτόμος της γωνίας \angle NMP.
299.PNG
299.PNG (24.85 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές
Με θεώρημα Μενελάου στα \rm \Delta NPC.\Delta BAP με διατέμνουσες \rm \overline{QRA},\overline{NQC} αντίστοιχα παίρνω:
\rm \dfrac{NR}{PR}\cdot \dfrac{AP}{AC}\cdot \dfrac{QC}{QN}=1\Leftrightarrow \dfrac{QC}{QN}=\dfrac{AC\cdot RP}{AP\cdot NR}\,\,(1)
\rm \dfrac{QC}{QN}\cdot \dfrac{BN}{AB}\cdot \dfrac{PA}{PC}=1\Leftrightarrow \dfrac{QC}{QN}=\dfrac{AB\cdot PC}{BN\cdot AP}\,\,(2)
Οι (1),(2) δίνουν \rm \dfrac{AB\cdot PC}{BN\cdot AP}=\dfrac{AC\cdot RP}{AP\cdot NR}\overset{AC=AB}{\Leftrightarrow }\dfrac{PR}{NR}=\dfrac{PC}{BN}\overset{\Delta MCP\sim \Delta MBN}{=}\dfrac{MP}{MN} και το ζητούμενο έπεται.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Απρ 11, 2020 12:14 pm

Καλησπέρα!

Μια λύση για το θέμα 3:


\sum \dfrac{a}{a^2+7}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(a+c)+4}\leq \dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq

\leq \dfrac{1}{8}\sum (\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})=\dfrac{3}{8}


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 2:04 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm

ΘΕΜΑ 2
Έστω M το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία 1, 3, 4, 6, 7, 8 , 9 χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά d δύο διαφορετικών στοιχείων του M.
(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών (x,y) με x, \ y \in M για τα οποία x - y = d.
α) Οι 1346798,1346789 διαφέρουν κατά 9.Αν δύο αριθμοί \rm x,y \in M έχουν κοινά τα πρώτα (από αριστερά) 4 ψηφία αλλά όχι τις εκατοντάδες τότε με \rm x=\overline{..a_1b_1c_1},y=\overline{..a_2b_2c_2},a_1>a_2 είναι \rm x-y=100(a_1-a_2)+10(b_1-b_2)+(c_2-c_1)> 100+10(1-9)+(2-8)=100-80-6>9.Όμοια αν έχουν κοινά τα πρώτα 3 αλλά όχι τις χιλιάδες κλπ.
Οπότε την μικρότερη διαφορά θα έχουμε όταν έχουν κοινά τα πρώτα 5 και κατά συνέπεια οι δεκάδες και οι μονάδες θα είναι αντεστραμένες ,οπότε η διαφορά τους θα είναι της μορφής \rm \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)\geq 9.Συνεπώς \rm d=9.
β)Τα ζευγάρια ψηφίων της μορφής \rm a,a+1 είναι τα \rm (3,4),(6,7),(8,9).Για κάθε ζεύγος αριθμών που έχουν κοινά τα πρώτα πέντε και τις δεκάδες,μονάδες αντεστραμένες τα άλλα πέντε μπορούν να μπουν με 5! διαφορετικούς τρόπους και έτσι συνολικά 3\cdot 5!=360 ζεύγη.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6072
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Απρ 11, 2020 11:42 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 2:04 pm
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm

ΘΕΜΑ 2
Έστω M το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία 1, 3, 4, 6, 7, 8 , 9 χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά d δύο διαφορετικών στοιχείων του M.
(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών (x,y) με x, \ y \in M για τα οποία x - y = d.
α) Οι 1346798,1346789 διαφέρουν κατά 9.Αν δύο αριθμοί \rm x,y \in M έχουν κοινά τα πρώτα (από αριστερά) 4 ψηφία αλλά όχι τις εκατοντάδες τότε με \rm x=\overline{..a_1b_1c_1},y=\overline{..a_2b_2c_2},a_1>a_2 είναι \rm x-y=100(a_1-a_2)+10(b_1-b_2)+(c_2-c_1)> 100+10(1-9)+(2-8)=100-80-6>9.Όμοια αν έχουν κοινά τα πρώτα 3 αλλά όχι τις χιλιάδες κλπ.
Οπότε την μικρότερη διαφορά θα έχουμε όταν έχουν κοινά τα πρώτα 5 και κατά συνέπεια οι δεκάδες και οι μονάδες θα είναι αντεστραμμένες ,οπότε η διαφορά τους θα είναι της μορφής \rm \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)\geq 9.Συνεπώς \rm d=9.
β)Τα ζευγάρια ψηφίων της μορφής \rm a,a+1 είναι τα \rm (3,4),(6,7),(8,9).Για κάθε ζεύγος αριθμών που έχουν κοινά τα πρώτα πέντε και τις δεκάδες,μονάδες αντεστραμμένες τα άλλα πέντε μπορούν να μπουν με 5! διαφορετικούς τρόπους και έτσι συνολικά 3\cdot 5!=360 ζεύγη.
Ωραία!

Στο (α), αφού οι αριθμοί του Μ είναι ισοϋπόλοιποι \pmod 9 αφού έχουν ίδιο άθροισμα ψηφίων, θα είναι d\geq 9.

Στο (β), μπορεί να έχουμε και κρατούμενο... Οπότε τα τελευταία ψηφία των x,y (κοιτώντας την x=y+9) μπορεί να είναι
3 \ \& \ 4 ή 6 \ \& \ 7 ή 7 \ \& \ 8 ή 8 \ \& \ 9
Οπότε συνολικά 5! \cdot 4=480.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6072
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Απρ 13, 2020 11:08 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων (m, n) για τα οποία ο αριθμός m!n! είναι τέλειο τετράγωνο.


Άλλη μια που μου άρεσε:

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z) με x>1, y>1 για τις οποίες \displaystyle{x!y! = z!.}


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Απρ 13, 2020 11:20 pm

(x,y,z)=(n,n!-1,n!)


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7201
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 14, 2020 12:55 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB = AC και M σημείο της πλευράς BC.

Έστω N και P οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC,

αντίστοιχα. Έστω ακόμη Q το σημείο τομής των ευθειών BP και CN και R το σημείο τομής των AQ και NP.

Να αποδείξετε ότι η ευθεία MR είναι διχοτόμος της γωνίας \angle NMP.
Test_45_μικροί.png
Test_45_μικροί.png (28.03 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές
Οι γωνίες \widehat {{\omega _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _{}}} είναι ίσες ως συμπληρώματα των ίσων παρά τη βάση BC γωνιών του ισοσκελούς \vartriangle ABC.

Δηλαδή η BC είναι εξωτερική διχοτόμος του \vartriangle MNP. Ας είναι S το σημείο τομής των ευθειών CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PN.

Η πολική του S ως προς τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC είναι η ευθεία : \overline {ARQ} ( κατασκευή πολικής).

Θα είναι λοιπόν , η δέσμη A\left( {S,R\backslash N,P} \right) αρμονική και άρα και η δέσμη M\left( {S,R\backslash N,P} \right) αρμονική ,

οπότε η MR είναι εσωτερική διχοτόμος του \vartriangle MNP.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης