Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm

ΘΕΜΑ 1
α) Πόσες μεταθέσεις  a_1,a_2,...,a{}_2{}_0{}_0{}_8 των αριθμών  1,2,...,2008 είναι τέτοιες ώστε  i \in \{ a_1,a_2,...,a_i \} για κάθε  2\le i \le2008;

β) Πόσες μεταθέσεις  a_1,a_2,...,a_{10} των αριθμών  1,2,...,10 είναι τέτοιες ώστε
 a_i>a_{2i} για κάθε  1 \le i \le 5 και
 a_i>a_{2i+1} για κάθε  1 \le i \le 4;


ΘΕΜΑ 2
Οι ρητοί αριθμοί x και y και ο περιττός θετικός ακέραιος είναι τέτοιοι ώστε x^n-  2x = y^n - 2y.
Να δείξετε ότι x = y.


ΘΕΜΑ 3
Έστω n \geq 2 ένας ακέραιος και 0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n πραγματικοί αριθμοί ώστε x_1 + x_2 + ... + x_n = 1.
Δείξτε ότι αν x_n \leq \dfrac{2}{3}, τότε υπάρχει 1 \leq k \leq n τέτοιος ώστε \dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}.


ΘΕΜΑ 4
Έστω n θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 15n σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι 5. Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι 6n ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι 3n.
Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον 10n συνέδρους.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 11:06 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm

ΘΕΜΑ 3
Έστω n \geq 2 ένας ακέραιος και 0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n πραγματικοί αριθμοί ώστε x_1 + x_2 + ... + x_n = 1.
Δείξτε ότι αν x_n \leq \dfrac{2}{3}, τότε υπάρχει 1 \leq k \leq n τέτοιος ώστε \dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}.
Έστω προς άτοπο ότι για κάθε \rm k είναι \displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{k}x_i< \dfrac{1}{3}} ή \displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{k}x_i\geq \dfrac{2}{3}}.
Tότε θα υπάρχει \rm l\geq0 ώστε \displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{l}x_i< \dfrac{1}{3}} και \displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{l+1}x_i\geq \dfrac{2}{3}}.
Είναι \displaystyle{\rm \dfrac{2}{3}\leq \sum_{i=1}^{l+1}x_i=\sum_{i=1}^{l}x_i+x_{l+1}<\dfrac{1}{3}+x_{l+1}\Leftrightarrow x_{l+1}>\dfrac{1}{3}.
Αν \rm l+1\leq n-2 τότε \rm x_{n-2}+x_{n-1}+x_n \geq 3 x_{l+1}>1 άτοπο.
Άρα \rm l+1=n-1 ή \rm l+1=n.Το τελευταίο αποκλείεται γιατί τότε θα ήταν \displaystyle{\rm \sum_{i=1}^{n-1}<\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x_n>\dfrac{2}{3} άτοπο.
Άρα \rm l=n-2.Αυτό όμως σημαίνει ότι \rm x_{l+1}=x_{n-1}>\dfrac{1}{3} .Επίσης θα έπρεπε \displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n-1}\geq \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x_n\leq \dfrac{1}{3}}.Άρα \rm x_{n-1}>x_{n} άτοπο.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιούλ 06, 2020 1:53 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm
ΘΕΜΑ 1
α) Πόσες μεταθέσεις  a_1,a_2,...,a{}_2{}_0{}_0{}_8 των αριθμών  1,2,...,2008 είναι τέτοιες ώστε  i \in \{ a_1,a_2,...,a_i \} για κάθε  2\le i \le2008;

β) Πόσες μεταθέσεις  a_1,a_2,...,a_{10} των αριθμών  1,2,...,10 είναι τέτοιες ώστε
 a_i>a_{2i} για κάθε  1 \le i \le 5 και
 a_i>a_{2i+1} για κάθε  1 \le i \le 4;
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm
ΘΕΜΑ 4
Έστω n θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 15n σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι 5. Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι 6n ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι 3n.
Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον 10n συνέδρους.


Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 12, 2020 11:33 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 11:29 pm
ΘΕΜΑ 4
Έστω n θετικός ακέραιος. Σε ένα συνέδριο συμμετέχουν 15n σύνεδροι. Οι επίσημες γλώσσες που ομιλούνται στο συνέδριο είναι 5. Για κάθε ζεύγος γλωσσών, ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις δύο γλώσσες είναι 6n ενώ για κάθε τριάδα γλωσσών ο αριθμός των συνέδρων που μιλάει και τις τρεις είναι 3n.
Να αποδείξετε ότι δύο οποιοιδήποτε σύνεδροι μπορούν να επικοινωνήσουν σε κάποια από τις επίσημες γλώσσες και ότι μία τουλάχιστον γλώσσα ομιλείται από τουλάχιστον 10n συνέδρους.

Αν a_0,a_1,...,a_5 το πλήθος των συνέδρων που μιλά καμία, ακριβώς μία κτλ από τις επίσημες γλώσσες τότε

\displaystyle{a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 15n}
\displaystyle{a_2 + 3a_3 + 6a_4 + 10a_5 = 10 \cdot 6n = 60n}
\displaystyle{a_3 + 4a_4 + 10a_5 = 10 \cdot 3n = 30n}

Προκύπτει ότι \displaystyle{a_0 = a_1 = a_2 =a_5 = 0 , \ \  a_3 = 10n, a_4 = 5n}

Πώς προκύπτει το συμπέρασμα που ζητά η άσκηση; :?:


Θανάσης Κοντογεώργης
2nisic
Δημοσιεύσεις: 145
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Τρί Ιαν 19, 2021 11:21 am

Το θέμα 2 είναι θέμα jbmo test στην Ρουμανία το 2012.

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί δεν γράφονται οι πηγές τών ασκήσεων;


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4284
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Τεστ Εξάσκησης (44), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιαν 20, 2021 5:16 pm

2nisic έγραψε:
Τρί Ιαν 19, 2021 11:21 am
Το θέμα 2 είναι θέμα jbmo test στην Ρουμανία το 2012.

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί δεν γράφονται οι πηγές τών ασκήσεων;
Δεν είναι απαραίτητο να γράφονται οι πηγές των ασκήσεων (για ευνόητους λόγους). Αν κάποιος ενδιαφερθεί για την πηγή κάποια άσκησης, μπορεί να το ζητήσει από αυτόν που έθεσε το θέμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης