Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τα γινόμενα ανά 2, ανά 4, ανά 6, ... , ανά 2000 των στοιχείων του συνόλου \displaystyle{A =\left\{\frac12, \frac13, \frac14,...,\frac{1}{2000},\frac{1}{2001}\right\}}.
Βρείτε το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD και έστω M το μέσο της πλευράς AB, P η προβολή του B στην CM και N το μέσο του τμήματος CP. Η διχοτόμος της γωνίας \angle DAN τέμνει την DP στο Q. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BMQN είναι παραλληλόγραμμο.


ΘΕΜΑ 3
Έστω n θετικός ακέραιος. Στην περιφέρεια ενός κύκλου μήκους 6n θεωρούμε 3n σημεία τα οποία χωρίζουν τον κύκλο σε 3n διαδοχικά τόξα, από τα οποία n έχουν μήκος 1,  \ \ n έχουν μήκος 2, και τα υπόλοιπα n έχουν μήκος 3.
Να αποδείξετε ότι δύο από αυτά τα σημεία είναι διαμετρικά αντίθετα.


ΘΕΜΑ 4
Να λύσετε στους θετικούς ακεραίους την εξίσωση: x^yy^x=(x+y)^z


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13323
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 10, 2020 8:50 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am
ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τα γινόμενα ανά 2, ανά 4, ανά 6, ... , ανά 2000 των στοιχείων του συνόλου \displaystyle{A =\left\{\frac12, \frac13, \frac14,...,\frac{1}{2000},\frac{1}{2001}\right\}}.
Βρείτε το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.
Ας κάνω την αρχή: Έχουμε 2000 αριθμούς a_1, a_2, ... , a_{2000} (τάδε) και ψάχνουμε το \sum a_ka_l +\sum a_ka_la_ma_n +.... Το ζητούμενο είναι το άθροισμα των συντελεστών των άρτιων δυνάμεων του x (πλην του x^0) στο ανάπτυγμα

\displaystyle{S(x)=(1+a_1x)(1+a_2x)....(1+a_{2000}x)= 1 +( \sum a_k)x +  (\sum a_ka_l)x^2+ ( \sum a_ka_l  a_m)x^3+... +a_1...a_{2000}x^{2000}}

Παρατηρούμε ότι

\displaystyle{\dfrac {S(x)+S(-x)}{2}= 1 +  (\sum a_ka_l)x^2+ ( \sum a_ka_l  a_ma_4)x^4+... +a_1...a_{2000}x^{2000}} οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι το

\displaystyle{\dfrac {S(1)+S(-1)}{2}-1}

Εδώ τα S(1), \, S(-1) είναι εύκολο να τα βρούμε. Είναι

\displaystyle{S(1)= \left (1+ \dfrac {1}{2} \right) \left (1+ \dfrac {1}{3} \right)\cdot ...\cdot \left (1+ \dfrac {1}{2000} \right) = \dfrac {3}{2} \dfrac {4}{3} \cdot... \cdot \dfrac {2001}{2000} =\dfrac {2001}{2} } (μετά τις προφανείς απλοποιήσεις σε γειτονικούς όρους) και όμοια

\displaystyle{S(-1)= \left (1- \dfrac {1}{2} \right) \left (1-\dfrac {1}{3} \right)\cdot ...\cdot \left (1- \dfrac {1}{2000} \right) = \dfrac {1}{2} \dfrac {2}{3} \cdot... \cdot\dfrac {1999}{2000} =\dfrac {1}{2000} }. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 837
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 10, 2020 11:20 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD και έστω M το μέσο της πλευράς AB, P η προβολή του B στην CM και N το μέσο του τμήματος CP. Η διχοτόμος της γωνίας \angle DAN τέμνει την DP στο Q. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BMQN είναι παραλληλόγραμμο.
298.PNG
298.PNG (24.91 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές
Ορίζω \rm K το μέσο του \rm DC
Από το \rm MBC είναι \rm CP\cdot CM=CB^2=CD^2 άρα η \rm CD εφάπτεται του \rm (M,P,D).Άρα \rm \angle DMC=\angle CDP=2\angle KMC=2\angle BCM=2\angle(90^{\circ}-MCD)=180^{\circ}-2\angle PCD άρα \rm DP=DC.
Έτσι αφού το \rm N είναι μέσο της βάσης θα είναι \rm \angle MND=\angle DAB=90^{\circ} δηλαδή  
\rm  AMND εγγράψιμο.Άρα \rm \angle AND=\angle AMD=\angle CMB=\angle NDA\Leftrightarrow AD=AN.Θα είναι λοιπόν \rm AQ,DN κάθετα δηλαδή \rm AQ\parallel MC .Εύκολα όμως (ισότητα τριγώνων ) είναι \rm AK\parallel CM άρα \rm A,Q,K συνευθειακά.Άρα \rm Q το μέσο του \rm DP.Έτσι \rm QN\parallel AB και \rm QN=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{AB}{2}=MB και το ζητούμενο έπεται.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιούλ 06, 2020 1:46 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω n θετικός ακέραιος. Στην περιφέρεια ενός κύκλου μήκους 6n θεωρούμε 3n σημεία τα οποία χωρίζουν τον κύκλο σε 3n διαδοχικά τόξα, από τα οποία n έχουν μήκος 1,  \ \ n έχουν μήκος 2, και τα υπόλοιπα n έχουν μήκος 3.
Να αποδείξετε ότι δύο από αυτά τα σημεία είναι διαμετρικά αντίθετα.
Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Lymperis Karras και 1 επισκέπτης