Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 2:50 am

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τρίγωνο ABC. Η διχοτόμος της γωνίας \angle B τέμνει την AC στο P. Έστω I το έγκεντρο του ABC.
Αν AP+AB = CB, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο API είναι ισοσκελές.


ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο K=\{1,2,3,...,2012\}, και έστω A,B δύο υποσύνολα του K. Συμβολίζουμε με |A | και |B | τον αριθμό των στοιχείων του A και B αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι |A |\cdot  |B |\geq 4023.
Να αποδείξετε ότι τα σύνολα A-A και B-B περιέχουν ένα τουλάχιστον κοινό στοιχείο.
Σημειώνουμε ότι το X-X συμβολίζει το σύνολο \{k-r: k,r\in X, k\ne r \}


ΘΕΜΑ 3
Ένας ειδικευόμενος γιατρός πρόκειται να εργαστεί σε ένα νοσοκομείο για πέντε ημέρες κατά τον μήνα Μάρτιο. Η διεύθυνση του νοσοκομείου δεν επιτρέπει στον ειδικευόμενο γιατρό να εργάζεται δύο συνεχόμενες μέρες στο νοσοκομείο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο γιατρός να επιλέξει τις πέντε μέρες που θα εργαστεί στο νοσοκομείο;


ΘΕΜΑ 4
Έστω a,b,c θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=3.

Να δείξετε ότι \dfrac{1}{2+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2+c^2+a^2} \leqslant \dfrac{3}{4}.

Πότε ισχύει η ισότητα;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 10, 2020 11:20 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:50 am
ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τρίγωνο ABC. Η διχοτόμος της γωνίας \angle B τέμνει την AC στο P. Έστω I το έγκεντρο του ABC.
Αν AP+AB = CB, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο API είναι ισοσκελές.
Στην προέκταση της BA θεωρώ σημείο T ώστε AT=AP, οπότε BT=BC.
42-μικροί.png
42-μικροί.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές
Η AI είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας P\widehat AT, άρα AI||PT και \displaystyle \frac{{AI}}{{PT}} = \frac{{BA}}{{BT}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{AP}}{{PC}}

Αλλά λόγω του ισοσκελούς BTC το P βρίσκεται στη μεσοκάθετο του CT, οπότε \displaystyle PT = PC \Leftrightarrow \boxed{AI=AP}


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Κυρ Ιουν 07, 2020 6:05 pm

ΘΕΜΑ 4
Έστω a,b,c θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=3.

Να δείξετε ότι \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}


Πότε ισχύει η ισότητα;

Πολύ ωραίο πρόβλημα.Δίνω μια λύση με την ανισότητα του Nesbitt.

Η ανισότητα γράφεται ως
\sum_{cyc}^{}\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}

Θέτουμε
x=a^{2}+b^{2}
y=b^{2}+c^{2}
z=c^{2}+a^{2}

Άρα αρκεί να αποδείξουμε οτι
\sum_{cyc}^{}\frac{x}{x+2}\geq \sum_{cyc}^{}\frac{x}{y+z} \geq \frac{3}{2}
Από Nesbitt

Η πιό απλά
x+2\leq y+z
y+2\leq x+z
z+2\leq x+y



Προσθέτοντας κατά μέλη μένει να δείξουμε οτι
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3
που είναι προφανές

Ισότητα όταν
a=b=c=1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης