Σελίδα 1 από 1
Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
από socrates
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση
Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
- και
Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους
να δείξετε ότι:
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο
με
. Τα σημεία
και
είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές
και
, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
στο
τέμνει την
στο
. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην
και διέρχεται από το
τέμνει την
στο
. Να αποδείξετε ότι η
είναι κάθετη στη διάμεσο από το
του τριγώνου
.
ΘΕΜΑ 4
Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς
έτσι ώστε να υπάρχουν
αριθμοί μεταξύ δύο
, όταν
i)
ii)
iii)
(Για παράδειγμα, για
,
είναι μια τέτοια διάταξη.)
To πρόβλημα 1 είναι κατασκευασμένο από τον
Ορέστη.
Τα θέματα 2 και 4 προτείνει ο
ksofsa.
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 10, 2020 11:37 am
από miltosk
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση
Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
- και
Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες
και η f 1-1.
Θέτω
και λαμβάνω ότι
τέτοιο ώστε
(δεν το ρισκάρω με το επί του
)
Για
λαμβάνω
Για
Άρα η (1) γίνεται
:
Άρα από την (1) κατέληξα στα:
Το αντίστροφο:
Θέτω
και:
που είναι η (1).
Τελικά, οι σχέσεις είναι ισοδύναμες.
Για το Bonus:
Εναλλάσοντας τους ρόλους των
καταλήγω στην:
Θέτω
και έχω
δηλαδή
σταθερή.
Άρα
Άρα f:1-1 και θέτω στην αρχική
(edit: διορθώθηκε μετά από ΠΜ του κ. Θανάση)
και λαμβάνω ότι
Για
στην αρχική έχω:
Άρα
Άρα
Η αρχική γίνεται:
Για
:
Δηλαδή άγεται σε Cauchy.
Μπορώ να τελειώσω με 2 τρόπους:
Είτε αφού
για
,
και από την
παίρνω
Είτε:
δηλαδή f γνησίως αύξουσα και καταλήγω με
Άρα
.
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 10, 2020 11:50 am
από miltosk
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους
να δείξετε ότι:
Έστω
.
Τότε:
και
Άρα
και αφού
Τώρα:
Άρα
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 10, 2020 11:52 am
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση
Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
- και
Ευθύ:
Με
σταθερό αλλάζοντας το
εύκολα η
είναι
Με
παίρνω
δηλαδή
.
Με
παίρνω
.
Αυτή για
δίνει
.Η αρχική για
δίνει
.
Άρα
Το ανάποδο:
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
από miltosk
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο
με
. Τα σημεία
και
είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές
και
, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
στο
τέμνει την
στο
. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην
και διέρχεται από το
τέμνει την
στο
. Να αποδείξετε ότι η
είναι κάθετη στη διάμεσο από το
του τριγώνου
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι
η τομή των
,
.
εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο
της
.
Τότε
πολική του
και άρα
μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί
Από το πλήρες τετράπλευρο
η δέσμη
είναι αρμονική. Έτσι, αν η
τέμνει την
στο
,
μέσο της
.
Από θεώρημα Nagel,
παραλληλόγραμμο.
Άρα
.
Άρα
παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm
από stamas1
miltosk έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο
με
. Τα σημεία
και
είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές
και
, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
στο
τέμνει την
στο
. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην
και διέρχεται από το
τέμνει την
στο
. Να αποδείξετε ότι η
είναι κάθετη στη διάμεσο από το
του τριγώνου
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι
η τομή των
,
.
εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο
της
.
Τότε
πολική του
και άρα
μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί
Από το πλήρες τετράπλευρο
η δέσμη
είναι αρμονική. Έτσι, αν η
τέμνει την
στο
,
μέσο της
.
Από θεώρημα Nagel,
παραλληλόγραμμο.
Άρα
.
Άρα
παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 03, 2020 12:58 am
από miltosk
stamas1 έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm
miltosk έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο
με
. Τα σημεία
και
είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές
και
, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
στο
τέμνει την
στο
. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην
και διέρχεται από το
τέμνει την
στο
. Να αποδείξετε ότι η
είναι κάθετη στη διάμεσο από το
του τριγώνου
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι
η τομή των
,
.
εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο
της
.
Τότε
πολική του
και άρα
μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί
Από το πλήρες τετράπλευρο
η δέσμη
είναι αρμονική. Έτσι, αν η
τέμνει την
στο
,
μέσο της
.
Από θεώρημα Nagel,
παραλληλόγραμμο.
Άρα
.
Άρα
παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)
Ναι το ορθόκεντρο του
είναι, το ξέχασα από κεκτημένη ταχύτητα.
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 17, 2021 9:58 am
από Demetres
Philip.kal έγραψε: ↑Τετ Φεβ 17, 2021 8:06 am
socrates έγραψε: ↑Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους
να δείξετε ότι:
Μία διαφορετική για το 2. Είναι:
. Πρέπει, συνεπώς, να ισχύει ισοδύναμα:
.
Η τελευταία προφανώς ισχύει.
Προσοχή. Δεν είναι σωστό αυτό. Ουσιαστικά λές
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 17, 2021 1:08 pm
από Demetres
Έβαλα μια λύση για το 4
εδώ.