Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am

ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.

Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ για τις οποίες f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}^+.


ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους m>n να δείξετε ότι:

\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}


ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC.


ΘΕΜΑ 4
Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς 1,1,2,2,...,n,n έτσι ώστε να υπάρχουν j αριθμοί μεταξύ δύο j's,1\leq j\leq n, όταν
i) \ n=2000,
ii)  \ n=2001,
iii)  \ n=2002.
(Για παράδειγμα, για n=4, 41312432 είναι μια τέτοια διάταξη.)



To πρόβλημα 1 είναι κατασκευασμένο από τον Ορέστη.
Τα θέματα 2 και 4 προτείνει ο ksofsa.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 11:37 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.

Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ για τις οποίες f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}^+.
f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,(1)
f(y_1)=f(y_2)\Leftrightarrow... y_1=y_2 και η f 1-1.
Θέτω x=y-2f(f(y)) και λαμβάνω ότι \exists t \in \mathbb{R} τέτοιο ώστε f(t)=0 (δεν το ρισκάρω με το επί του \mathbb{R})
Για x=y=t λαμβάνω f(0)=0
Για x=0\Rightarrow f(f(x))=x
Άρα η (1) γίνεται f(f(x)+f(y))=x+y
Για x=f(x), y=f(y): f(x+y)=f(x)+f(y)
Άρα από την (1) κατέληξα στα:
f(f(x))=x,f(x+y)=f(x)+f(y)
Το αντίστροφο:
f(f(x))=x,f(x+y)=f(x)+f(y)
Θέτω y=f(y), x=f(x) και: f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))=x+y+f(f(y))-y=x+2f(f(y))-y που είναι η (1).
Τελικά, οι σχέσεις είναι ισοδύναμες.
Για το Bonus:
Εναλλάσοντας τους ρόλους των x,y καταλήγω στην:
x+2f(f(y))-y=y+2f(f(x))-x\Rightarrow f(f(y))-y=f(f(x))-x
Θέτω h(x)=f(f(x))-x και έχω h(x)=h(y) δηλαδή h σταθερή.
Άρα f(f(x))=x+c
Άρα f:1-1 και θέτω στην αρχική y=x=f^{-1}(x) (edit: διορθώθηκε μετά από ΠΜ του κ. Θανάση)
και λαμβάνω ότι \exists t \in \mathbb{R^+}:f(2t)=2f(t)
Για x=y στην αρχική έχω: f(2f(x))=2f(f(x))
Άρα f(f(2t))=f(2f(t))=2f(f(t))\Rightarrow 2t+c=2t+2c\Rightarrow c=0
Άρα f(f(x))=x
Η αρχική γίνεται: f(f(x)+f(y))=x+y
Για x=f(x),y=f(y): f(x+y)=f(x)+f(y)
Δηλαδή άγεται σε Cauchy.
Μπορώ να τελειώσω με 2 τρόπους:
Είτε αφού f>0για x>0, f(x)=lx και από την f(f(x))=x παίρνω l=1
Είτε: f(x)+f(y)>f(x)\Rightarrow f(x+y)>f(x) δηλαδή f γνησίως αύξουσα και καταλήγω με f(x)=x
Άρα f(x)=x.
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Σάβ Απρ 11, 2020 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 11:50 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους m>n να δείξετε ότι:

\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}
(m,n)=d_1, (m+1,n+1)=d_2
Έστω l=(d_1,d_2).
Τότε: l\mid d_1\mid m και l\mid d_2\mid m+1
Άρα l\mid 1\Rightarrow l=1
d_1\mid m-n, d_2\mid m-n και αφού (d_1,d_2)=1\Rightarrow d_1d_2\mid m-n\Rightarrow m-n\geq d_1d_2
Τώρα:
[m,n]=\frac{mn}{(m,n)}=\frac{mn}{d_1}
[m+1,n+1]=\frac{(m+1)(n+1)} 
{(m+1,n+1)}=\frac{mn+m+n+1}{d_2}>\frac{mn}{d_2}
Άρα [m,n]+[m+1,n+1]>mn(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2})\geq mn\cdot2\frac{1}{\sqrt{d_1d_2}}\geq\frac{2mn}{\sqrt{m-n}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 837
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 10, 2020 11:52 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.
Ευθύ:
Με \rm y σταθερό αλλάζοντας το \rm x εύκολα η \rm  f είναι 1-1
Με \rm x=y παίρνω \rm f(2(f(x))=2f(f(x)) δηλαδή \rm f(2x)=2f(x).
Με \rm y=2x παίρνω \rm f(f(x)+f(2x))=x+2f(f(2x))-2x \Leftrightarrow f(3f(x))=f(4f(x))-x.
Αυτή για \rm x=0 δίνει \rm f(0)=0.Η αρχική για \rm y=0 δίνει \rm f(f(x))=x.
Άρα \rm f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y=x+y=f(f(x+y))\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)
Το ανάποδο:
\rm f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))=x+y=x+2y-y=x+2f(f(y))-y και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Απρ 10, 2020 12:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.


stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm

miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)


miltosk
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Ιούλ 03, 2020 12:58 am

stamas1 έγραψε:
Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm
miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)
Ναι το ορθόκεντρο του ABC είναι, το ξέχασα από κεκτημένη ταχύτητα.


Philip.kal
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2020 9:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Philip.kal » Τετ Φεβ 17, 2021 8:06 am

Λάθος. Ευχαριστώ τον κύριο Δημήτρη για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από Philip.kal σε Τετ Φεβ 17, 2021 10:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 17, 2021 9:58 am

Philip.kal έγραψε:
Τετ Φεβ 17, 2021 8:06 am
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am

ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους m>n να δείξετε ότι:

\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}
Μία διαφορετική για το 2. Είναι: \left [ m,n \right ]\leqslant mn, \left [ m+1,n+1 \right ]\leqslant (m+1)(n+1). Πρέπει, συνεπώς, να ισχύει ισοδύναμα: mn+(m+1)(n+1)>\frac{2mn}{\sqrt{m-n}} \Leftrightarrow mn+mn+m+n+1>\frac{2mn}{\sqrt{m-n}} \Leftrightarrow 2mn+m+n+1>\frac{2mn\sqrt{m-n}}{m-n} \Leftrightarrow (2nm+m+n+1)(m-n)>2mn\sqrt{m-n} \Leftrightarrow (2mn+m+n+1)^2(m-n)^2>4m^2n^2 \Leftrightarrow (2mn+m+n+1)^2(m-n)>4m^2n^2 \Leftrightarrow (2mn+m+n+1)\sqrt{m-n}>2mn.

Η τελευταία προφανώς ισχύει.
Προσοχή. Δεν είναι σωστό αυτό. Ουσιαστικά λές

\displaystyle  [m,n] + [m+1,n+1] \leqslant mn + (m+1)(n+1) \geqslant \frac{2mn}{\sqrt{m-n}}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8611
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 17, 2021 1:08 pm

Έβαλα μια λύση για το 4 εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης