Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am

ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.

Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ για τις οποίες f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}^+.


ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους m>n να δείξετε ότι:

\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}


ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC.


ΘΕΜΑ 4
Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς 1,1,2,2,...,n,n έτσι ώστε να υπάρχουν j αριθμοί μεταξύ δύο j's,1\leq j\leq n, όταν
i) \ n=2000,
ii)  \ n=2001,
iii)  \ n=2002.
(Για παράδειγμα, για n=4, 41312432 είναι μια τέτοια διάταξη.)



To πρόβλημα 1 είναι κατασκευασμένο από τον Ορέστη.
Τα θέματα 2 και 4 προτείνει ο ksofsa.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 11:37 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.

Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+ για τις οποίες f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}^+.
f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,(1)
f(y_1)=f(y_2)\Leftrightarrow... y_1=y_2 και η f 1-1.
Θέτω x=y-2f(f(y)) και λαμβάνω ότι \exists t \in \mathbb{R} τέτοιο ώστε f(t)=0 (δεν το ρισκάρω με το επί του \mathbb{R})
Για x=y=t λαμβάνω f(0)=0
Για x=0\Rightarrow f(f(x))=x
Άρα η (1) γίνεται f(f(x)+f(y))=x+y
Για x=f(x), y=f(y): f(x+y)=f(x)+f(y)
Άρα από την (1) κατέληξα στα:
f(f(x))=x,f(x+y)=f(x)+f(y)
Το αντίστροφο:
f(f(x))=x,f(x+y)=f(x)+f(y)
Θέτω y=f(y), x=f(x) και: f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))=x+y+f(f(y))-y=x+2f(f(y))-y που είναι η (1).
Τελικά, οι σχέσεις είναι ισοδύναμες.
Για το Bonus:
Εναλλάσοντας τους ρόλους των x,y καταλήγω στην:
x+2f(f(y))-y=y+2f(f(x))-x\Rightarrow f(f(y))-y=f(f(x))-x
Θέτω h(x)=f(f(x))-x και έχω h(x)=h(y) δηλαδή h σταθερή.
Άρα f(f(x))=x+c
Άρα f:1-1 και θέτω στην αρχική y=x=f^{-1}(x) (edit: διορθώθηκε μετά από ΠΜ του κ. Θανάση)
και λαμβάνω ότι \exists t \in \mathbb{R^+}:f(2t)=2f(t)
Για x=y στην αρχική έχω: f(2f(x))=2f(f(x))
Άρα f(f(2t))=f(2f(t))=2f(f(t))\Rightarrow 2t+c=2t+2c\Rightarrow c=0
Άρα f(f(x))=x
Η αρχική γίνεται: f(f(x)+f(y))=x+y
Για x=f(x),y=f(y): f(x+y)=f(x)+f(y)
Δηλαδή άγεται σε Cauchy.
Μπορώ να τελειώσω με 2 τρόπους:
Είτε αφού f>0για x>0, f(x)=lx και από την f(f(x))=x παίρνω l=1
Είτε: f(x)+f(y)>f(x)\Rightarrow f(x+y)>f(x) δηλαδή f γνησίως αύξουσα και καταλήγω με f(x)=x
Άρα f(x)=x.
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Σάβ Απρ 11, 2020 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 11:50 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους m>n να δείξετε ότι:

\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}
(m,n)=d_1, (m+1,n+1)=d_2
Έστω l=(d_1,d_2).
Τότε: l\mid d_1\mid m και l\mid d_2\mid m+1
Άρα l\mid 1\Rightarrow l=1
d_1\mid m-n, d_2\mid m-n και αφού (d_1,d_2)=1\Rightarrow d_1d_2\mid m-n\Rightarrow m-n\geq d_1d_2
Τώρα:
[m,n]=\frac{mn}{(m,n)}=\frac{mn}{d_1}
[m+1,n+1]=\frac{(m+1)(n+1)} 
{(m+1,n+1)}=\frac{mn+m+n+1}{d_2}>\frac{mn}{d_2}
Άρα [m,n]+[m+1,n+1]>mn(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2})\geq mn\cdot2\frac{1}{\sqrt{d_1d_2}}\geq\frac{2mn}{\sqrt{m-n}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 10, 2020 11:52 am

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω μία συνάρτηση f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}. Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
  • f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y,   \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}
  • f(f(x))=x και f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.
Ευθύ:
Με \rm y σταθερό αλλάζοντας το \rm x εύκολα η \rm  f είναι 1-1
Με \rm x=y παίρνω \rm f(2(f(x))=2f(f(x)) δηλαδή \rm f(2x)=2f(x).
Με \rm y=2x παίρνω \rm f(f(x)+f(2x))=x+2f(f(2x))-2x \Leftrightarrow f(3f(x))=f(4f(x))-x.
Αυτή για \rm x=0 δίνει \rm f(0)=0.Η αρχική για \rm y=0 δίνει \rm f(f(x))=x.
Άρα \rm f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y=x+y=f(f(x+y))\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)
Το ανάποδο:
\rm f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))=x+y=x+2y-y=x+2f(f(y))-y και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Απρ 10, 2020 12:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.


stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm

miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)


miltosk
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Παρ Ιούλ 03, 2020 12:58 am

stamas1 έγραψε:
Πέμ Ιούλ 02, 2020 10:06 pm
miltosk έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 12:00 pm
socrates έγραψε:
Παρ Απρ 10, 2020 2:41 am
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB<AC. Τα σημεία E και F είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές B και C, αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο A τέμνει την BC στο P. Η ευθεία που είναι παράλληλη στην BC και διέρχεται από το A τέμνει την EF στο Q. Να αποδείξετε ότι η PQ είναι κάθετη στη διάμεσο από το A του τριγώνου ABC
Μιας και πήρα φόρα:
Ας είναι L η τομή των EF,BC.
FEBC εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το μέσο M της BC.
Τότε LH πολική του A και άρα AM,LH μεταξύ τους κάθετες.
Αρκεί PQ//LH
Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE η δέσμη A(B,H,Q,A) είναι αρμονική. Έτσι, αν η LH τέμνει την AQ στο T, Q μέσο της AT.
Από θεώρημα Nagel, AQLP παραλληλόγραμμο.
Άρα LP//=AQ\Rightarrow LP//=QT.
Άρα QTLP παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.
Το σημειο Η που ακριβως ειναι?(το ορθοκεντρο?)
Ναι το ορθόκεντρο του ABC είναι, το ξέχασα από κεκτημένη ταχύτητα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες