Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Δείξτε ότι η εξίσωση έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.
ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών όπου υποσύνολα του συνόλου για τα οποία δεν ισχύει ούτε ούτε
ΘΕΜΑ 3
Έστω κυρτό εξάγωνο και σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα και να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με και Η ευθεία διέρχεται από το μέσο του και το περίκεντρο του τριγώνου Να δείξετε ότι η διέρχεται και από το σημείο
ΘΕΜΑ 4
Έστω με Να αποδείξετε ότι
Δείξτε ότι η εξίσωση έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.
ΘΕΜΑ 2
α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.
β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών όπου υποσύνολα του συνόλου για τα οποία δεν ισχύει ούτε ούτε
ΘΕΜΑ 3
Έστω κυρτό εξάγωνο και σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα και να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με και Η ευθεία διέρχεται από το μέσο του και το περίκεντρο του τριγώνου Να δείξετε ότι η διέρχεται και από το σημείο
ΘΕΜΑ 4
Έστω με Να αποδείξετε ότι
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Ισοδύναμα θα δείξω πως η ευθεία που ενώνει το περίκεντρο του τριγώνου (έστω ) και το διχοτομεί το .
Είναι ,όμοια .Από το γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο και τον νόμο ημιτόνων στο έχω και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
α) Αρχικά βρίσκω το .Τώρα θα βρω το άθροισμα των τριψήφιων οι οποίοι έχουν είτε όλα τα ψηφία περιττούς (τύπου 1) είτε άρτιους(τύπου 2).
Για τους τύπου 1): Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου έναν εκ των .Έτσι συνολικά το ψηφίο \rm 1 θα προσφέρει στο άθροισμα (επειδή όταν το είναι στις εκατοντάδες τα άλλα δύο ψηφία επιλέγονται με τρόπους κλπ).Όμοια και για τα άλλα ψηφία οπότε το άθροισμα των τύπου 1 είναι .
Για τους τύπου 2) Αυτοί προκύπτουν θέτοντας σε κάθε τάξη ψηφίου ένα εκ των ,αλλά το δεν μπαίνει στις εκατοντάδες.Έτσι το ψηφίο συνολικά προσφέρει στο άθροισμα (στους δύο τελευταίους όρους ο συντελεστής είναι επειδή για τις εκατοντάδες δεν υπάρχουν αλλά επιλογές).Συνολικά λοιπόν οι τύπου 2 έχουν άθροισμα .
Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι
β) Αρχικά το πλήθος όλων των διατεταγμένων συνόλων χωρίς συνθήκες είναι .
Από αυτά θα αφαιρέσω όσα ζεύγη είναι ή .Για αυτό θα βρω τα ζεύγη για τα οποία το είναι υποσύνολο του αλλά δεν ταυτίζεται με αυτό,προφανώς αυτό που θα βρω θα ισχύει και για το ,άρα επί δύο και μετά θα αφαιρέσω τα ζεύγη με .
Αν με ορίζω το πλήθος των στοιχείων του και θέλω :
Όταν αυτό ορίζεται με ενώ σε κάθε περίπτωση το ορίζεται με (από το διωνυμικό ανάπτυγμα).
Άρα έχουμε το άθροισμα
Άρα το ζητούμενο πλήθος θα είναι
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Απρ 05, 2020 2:41 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Οι τέμνονται στο Το είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου Αρκεί να δείξω ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Έστω το συμμετρικό του ως προς Τα τρίγωνα είναι προφανώς ίσα, άρα
και Αλλά, και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες