Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους p, q, r

τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί p+q+r

και

να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι p, q, r

τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί p+q+r

και

να είναι τέλεια τετράγωνα;

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο $M=\{1,2,3,...,n\}$ .
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

για την οποία υπάρχουν σύνολα X,Y

τέτοια ώστε $X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset$ , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του

που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων X,Y.

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα

και

διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

, το έγκεντρό του

, το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου κύκλου με την

και τη διχοτόμο του AE.

Αν

το μέσο του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το

και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το μέσο του τμήματος EF.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ισχυρισμός:

Αν $\rm p,q,r$ πρώτοι και $\rm p+q+r,pq+qr+pr+3$ ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα τότε (τουλάχιστον) ένας εκ των $\rm p,q,r$ ισούται με .
Απόδειξη:

Έστω προς άτοπο ότι $\rm p,q,r\neq 2$ .Τότε $\rm p,q,r \equiv 1,-1 \pmod{4}$ .Άρα για να είναι $\rm p+q+r$ τέλειο τετράγωνο πρέπει $\rm p+q+r \equiv 1 \pmod{4}$ .Αν ήταν $\rm p \equiv 1\pmod{4}$ τότε πρέπει $\rm q+r\equiv 0\pmod{4}$ άρα έστω $\rm q\equiv 1\pmod{4},r\equiv -1\pmod{4}$ (ή το αντίστροφο,δεν έχει σημασία).Τότε όμως είναι $\rm pq+qr+pr+3\equiv 1-1-1+3\equiv 2\pmod{4}$ άτοπο αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod{4}$ .Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο όταν $\rm p \equiv -1\pmod{4}$
Στην άσκηση τώρα:
α) Από τον ισχυρισμό έστω $\rm p=2$ .Έστω $\rm q,r\neq 3$ .Πρέπει $\rm p+q+r\equiv 1\pmod{3}$ άρα $\rm q+r \equiv 2\pmod{3}$ άρα $\rm q\equiv r\equiv 1\pmod{3}$ (αφού $\rm q,r\equiv 1,-1\pmod{3}$ .Τότε όμως $\rm pq+qr+pr+3\equiv 2+2+1+3\equiv 2\pmod{3}$ άτοπο αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod{3}$ .
Πρέπει λοιπόν $\rm q=3$ (ή $\rm r=3$ ,δεν έχει σχέση) και έτσι $\rm 6+2r+3r+3=k^2 \Leftrightarrow 5r=(k-3)(k+3)$ με $\rm k$ φυσικό.Επειδή το αριστερό μέλος είναι γινόμενο πρώτων έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
$\rm k+3=5r,k-3=1\Rightarrow 7=5r$ άτοπο.
$\rm k+3=r,k-3=5\Rightarrow r=11$
$\rm k-3=r,k+3=5\Rightarrow r< 0$ άτοπο.
Άρα λύση η $\rm (p,q,r)=(2,3,11)$ και οι αναδιατάξεις.
β)Ναι υπάρχουν $\rm (p,q,r)=(2,11,23)$ (χρησιμοποιούμε τον ισχυρισμό και σχέσεις $\pmod$ οπότε με δοκιμές καταλήγουμε σε αυτή)

#3

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Βρίσκω $\displaystyle 1 \le K \le \frac{9}{8},$ αλλά η λύση μου είναι μάλλον πολύπλοκη για "μικρούς". Θα περιμένω να δω κάτι άλλο πριν την αναρτήσω.

edit: Άρση απόκρυψης. Ίδια λύση με τον Θάνο.

#4

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y.}$

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1}$ με $\displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}$

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

$\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

matha έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 6:58 pm

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{1}$ ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y.}$

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1}$ με $\displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}$

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

$\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}$

Κάτι δεν πάει καλά.
(υποθέτω ότι δεν μπορεί να γίνει $\displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}$ )

Το ότι δεν πάει καλά οφείλεται στο ότι το μέγιστο το βγάζω

$\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}\leq 2$

είναι ισοδύναμη με την
$x^4+y^4+x^3y+y^3x\leq 2(x^4+y^4+2x^2y^2)$ (1)
Αλλά από Holder είναι
$x^3y+y^3x\leq (x^4+y^4)$
Αρα η (1) ισχύει.

Η τιμή

δεν πιάνεται.
Το παρακάτω είναι λάθος οπότε το μέγιστο δεν είναι το

Για

σταθερό και $y\rightarrow 0$
βλέπουμε ότι το

δεν μπορεί να γίνει μικρότερο.
συμπλήρωμα.
Για

σταθερό και $y\rightarrow 0$ η παράσταση πάει στο

Ευχαριστώ τον Xriiiistos που μου το επισήμανε με π.μ

Al.Koutsouridis · #6

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Μια άλλη λίγο μπελαλίδικη λύση αλλά οδηγεί σε αποτέλεσμα, είναι να εκμεταλευτούμε το ότι ο αριθμητής και παρονομαστής είναι ομογενής παραστάσης

βαθμού συν το ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι συμμετρική τετάρτου βαθμού.

Θέτουμε y=kx

, και έστω ότι το δεδομένο κλασμα πάιρνει την τιμή

, τότε η εξίσωση

$\dfrac{x^4+xy^3+y^3x+y^4}{x^4+2x^2y^2+y^4} = \dfrac{k^4+k^3+k+1}{k^4+2k^2+1} = a$

θα πρέπει να έχει λύσεις ως προς

. Η εξίσωση αυτή γράφεται

$k^4+k^3+k+1=ak^4+2ak^2+a \Leftrightarrow$

(a-1)k^4-k^3+2ak^2-k+a-1 = 0

, διαιρούμε με k^2

και έχουμε

$(a-1)k^2 +(a-1)\dfrac{1}{k^} -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0 \Leftrightarrow$

$(a-1)\left ( \left (k+\dfrac{1}{k} \right)^2 -2 \right ) -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0$ , θέτουμε $k+\dfrac{1}{k} =t$ και έχουμε

$(a-1)(t^2-2) -t +2a=0 \Leftrightarrow$

(a-1)t^2-t+2=0

Για να έχει λύσεις η τελευταία θα πρέπει η διακρίνουσά της να είναι μη αρνητική, δηλαδή

$D=1-4\cdot 2(a-1) \geq 0 \Rightarrow a \leq \dfrac{9}{8}$

Επειδή $k+\dfrac{1}{k} \geq 2$ έχουμε τις επιπλέον συνθήκες οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του

. Επίσης να εξεταστεί η περίπτωση a=1

που μηδενίζει τον συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου ξεχωριστά. Οπότε πρέπει να εξετάσουμε και τις ανισότητες

$t_{\pm} = \dfrac{1\pm \sqrt{9-8a}}{2(a-1)} \geq 2$

Επιλύοντας τις οποίες και εξετάζoντας την περίπτωση a=1

, βρίσκουμε ότι πρέπει $a \geq 1$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος

: 297.PNG (45.51 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Θεωρώ τα παράκεντρα $\rm I_A,I_B,I_C$ .Η τετράδα $\rm (A,E,I,I_A)$ είναι αρμονική άρα αρκεί $\rm MI_A\parallel EF$ .
Έστω $\rm AM\cap CB\equiv S$ .Στο $\rm \Delta FSE$ το $\rm I$ είναι ορθόκεντρο άρα $\rm SI\perp FE$ .Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\rm SI\perp MI_A$ .Για να ισχύει αυτό αρκεί $\rm MI\perp I_AS$ καθώς τότε το $\rm I$ θα ήταν ορθόκεντρο του $\rm \Delta SMI_A$ .
Έστω $\rm P\equiv BI_B\cap (A,B,C)$ .Είναι γνωστό ότι $\rm PI=PI_B$ .Είναι $\rm \angle MCI=\dfrac{\angle C}{2}+\angle MCB-\angle C=90^{\circ}-\dfrac{BMC}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\angle B}{2}=\angle CMP$ άρα $\rm II_C\parallel MP\Leftrightarrow MI_B=MI_C$ .Έτσι αν $\rm Ix$ η παράλληλη από το $\rm I$ στην $\rm I_B,I_C$ (στο σχήμα η πορτοκαλί διακεκομμένη) τότε σχηματίζεται η αρμονική δέσμη $\rm I(I_B,I_C,M,x$ .Επίσης και η δέσμη $\rm I_A(S,E,B,C)$ είναι αρμονική.Παρατηρούμε πως οι δύο αυτές δέσμες έχουν κάθετα τα τρία ζεύγη ομόλογων ακτίνων τους άρα και το τέταρτο,δηλαδή τις $\rm IM,I_AS$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ορέστης Λιγνός · #8

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

Καλησπέρα σε όλους.

Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες).

Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ελάχιστο είναι

.

Έστω τώρα x^2+y^2=M, xy=N

, οπότε εύκολα προκύπτει ότι $K=1+\dfrac{MN-2N^2}{M^2}$ .

Όμως, ισχύει ότι $\dfrac{MN-2N^2}{M^2} \leqslant 1/8$ (*), καθώς γράφεται ως $(M-4N)^2 \geqslant 0$ , οπότε $K \leqslant 9/8$ .

Xriiiiistos · #9

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος

Θα αποδείξω το γενικότερο με μόνη διαφορά

τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του

.
Έστω

ύψος του

και

μέσο της

: T.E.37 (1).png (330.24 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

θεώρημα Μενέλαου στο AFE

με διατέμνουσα την INM

$\dfrac{NE}{NF}\cdot \dfrac{MF}{MA}\cdot \dfrac{IA}{IE}=1\Leftrightarrow \dfrac{NE}{NF}= \dfrac{MA}{MF}\cdot \dfrac{IE}{IA}$ (1)

Aπό Θ.Θαλή $\dfrac{MA}{MF}=\dfrac{PH}{PD}=\dfrac{a/2-BH}{a/2-BD}=\dfrac{a-2ccosB}{a-2t+2b}=\dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}$

Aπό θ. διχοτόμου
$\dfrac{IE}{IA}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{ca/(b+c)}{c}=\dfrac{a}{b+c}$

θα δείξω ότι
$\dfrac{MA}{MF}= \dfrac{IA}{IE}\Leftrightarrow \dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}=\dfrac{b+c}{a}\Leftrightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca \cdot cosB$
που ισχύει ως νόμος συνημιτώνων

άρα $\dfrac{MA}{MF}\dfrac{IE}{IA}=1$ και η (1) δίνει NE=NF

Y.Γ. Δίχως βλάβη δουλεύω σε τρίγωνο με b>c

min## · #10

Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό $I_{A}'$ του $I_{A}$ ως προς το

βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των A-Nagel,A-Gergonne

πως $I_{A}' \in EF$ και επομένως αρκεί $EF//MI_{A}$ .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου $AF/AM=AI/AT=AE/AI_{A}$ από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο

2nisic · #11

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
[
Δίνεται το σύνολο $M=\{1,2,3,...,n\}$ .
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του για την οποία υπάρχουν σύνολα τέτοια ώστε $X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset$ , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση