Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης
ΘΕΜΑ 2
Σε ένα παραλληλόγραμμο είναι .Έστω η προβολή του στην και το συμμετρικό του ως προς την Να αποδειχθεί ότι .
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους με διαιρέτες τους αριθμούς
για τους οποίους ισχύει
ΘΕΜΑ 4
Έστω ένας δεκαεξαψήφιος θετικός ακέραιος αριθμός.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ένα ή περισσότερα διαδοχικά ψηφία του , το γινόμενο των οποίων είναι τέλειο τετράγωνο!
Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης
ΘΕΜΑ 2
Σε ένα παραλληλόγραμμο είναι .Έστω η προβολή του στην και το συμμετρικό του ως προς την Να αποδειχθεί ότι .
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους με διαιρέτες τους αριθμούς
για τους οποίους ισχύει
ΘΕΜΑ 4
Έστω ένας δεκαεξαψήφιος θετικός ακέραιος αριθμός.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ένα ή περισσότερα διαδοχικά ψηφία του , το γινόμενο των οποίων είναι τέλειο τετράγωνο!
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 9
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2020 3:36 pm
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Γράφω μια αναλυτική λύση
Οι περιπτώσεις είναι και η με άρτιο.
- (επίσης γι αυτές τις τιμές δεν μηδενίζεται η βάση)
- (επίσης για τις τιμές αυτές άρτιος-το οποίο βέβαια ισχύει για κάθε ακέραιο)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Ωραία!
Έχουμε ουσιαστικά να λύσουμε την εξίσωση Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν:
- και
- και
- και άρτιος.
Θανάσης Κοντογεώργης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Το είναι ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο κι επειδή το είναι σημείο του άρα
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Μια απαίσια λύση
Δείχνω πρώτα τα εξής .
i) Έστω ότι περιττός.Τότε πρέπει περιττός άρα άτοπο!
ii)Έστω ,τότε άρα άτοπο!
iii)Έστω τότε . Παίρνοντας τις περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο.
Από τα παραπάνω έπεται επίσης ότι .
Από την υπόθεση πρέπει ο αριθμός να είναι τετράγωνο κάποιου και αυτό γιατί
Εξετάζω δύο περιπτώσεις:
- Περίπτωση 1η :
Θα είναι και- Υποπερίπτωση 1η:
Τότε θα είναι και .Όμως η έχει θετική λύση για (ο τρόπος επίλυσης είναι απλός με διαφορά τετραγώνων κλπ).Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβαίνει καθώς και οι είναι διαιρέτες του αλλά οι τιμές δεν είναι αρκετές.
- Υποπερίπτωση 2η:
Τότε- Αν ήταν τότε που με παραγοντοποίηση κλπ δίνει .Η τιμή απορρίπτεται αφού δεν θα υπήρχαν για να αντιστοιχίσουμε όλους του διαιρέτες του .Για θα είναι και θα ισχύει η σχέση .Αν τότε άρα λόγω της θα είναι δηλαδή .Αν θεωρήσω τότε αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το έχει ''λίγους'' πρώτους διαιρέτες και έχουμε ήδη αρκετούς πρώτους διαιρέτες του .Όμοια αν το δεν διαιρεί το
- Αν τότε δεν μπορεί αλλά βρίσκουμε ότι πρέπει άτοπο!
- Μένει λοιπόν η .Η δίνει (αφού ) και .Επειδή σίγουρα τα διαιρούν το \rm n θα είναι .Αν τότε από την έπεται πως έπεται πως .Επειδή το έχει ''λίγους'' διαιρέτες όπως πριν παίρνουμε άτοπο.Άρα που δίνει .Θεωρώντας την κανονική μορφή του όπως πριν και επειδή έπεται πως που όπως θα δούμε και παρακάτω αποτελεί την μοναδική λύση του προβλήματος.
- Υποπερίπτωση 1η:
- Περίπτωση 2η (φτάσαμε και εδώ ) :Αν .
Τότε είναι .- Υποπερίπτωση 1η: .Τότε .
- Αν τότε από την παίρνουμε ότι οι λύσεις είναι άτοπο.
- Όπως πριν καταλήγουμε σε άτοπο επειδή από τη είναι .
- Υποπερίπτωση 2η: .Τότε ακριβώς όπως πριν που καταλήγει σε άτοπο λόγω της
- Υποπερίπτωση 1η: .Τότε .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Έστω ο αριθμός. Κοιτάζουμε τους αριθμούς . Μπορούμε να γράψουμε ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Κοιτάζουμε τα διανύσματα . Αν για κάποιο έχουμε τότε το είναι τέλειο τετράγωνο και τελειώσαμε. Αλλιώς, από την αρχή του περιστερώνα θα έχουμε με . Τότε το είναι τέλειο τετράγωνο και πάλι τελειώσαμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 8:43 pmΜια απαίσια λύση
Δείχνω πρώτα τα εξής .
i) Έστω ότι περιττός.Τότε πρέπει περιττός άρα άτοπο!
ii)Έστω ,τότε άρα άτοπο!
iii)Έστω τότε . Παίρνοντας τις περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο.
Από τα παραπάνω έπεται επίσης ότι .
Από την υπόθεση πρέπει ο αριθμός να είναι τετράγωνο κάποιου και αυτό γιατί
Εξετάζω δύο περιπτώσεις:
- Περίπτωση 1η :
Θα είναι και
- Υποπερίπτωση 1η:
Τότε θα είναι και .Όμως η έχει θετική λύση για (ο τρόπος επίλυσης είναι απλός με διαφορά τετραγώνων κλπ).Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβαίνει καθώς και οι είναι διαιρέτες του αλλά οι τιμές δεν είναι αρκετές.
- Υποπερίπτωση 2η:
Τότε
- Αν ήταν τότε που με παραγοντοποίηση κλπ δίνει .Η τιμή απορρίπτεται αφού δεν θα υπήρχαν για να αντιστοιχίσουμε όλους του διαιρέτες του .Για θα είναι και θα ισχύει η σχέση .Αν τότε άρα λόγω της θα είναι δηλαδή .Αν θεωρήσω τότε αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το έχει ''λίγους'' πρώτους διαιρέτες και έχουμε ήδη αρκετούς πρώτους διαιρέτες του .Όμοια αν το δεν διαιρεί το
- Αν τότε δεν μπορεί αλλά βρίσκουμε ότι πρέπει άτοπο!
- Μένει λοιπόν η .Η δίνει (αφού ) και .Επειδή σίγουρα τα διαιρούν το \rm n θα είναι .Αν τότε από την έπεται πως έπεται πως .Επειδή το έχει ''λίγους'' διαιρέτες όπως πριν παίρνουμε άτοπο.Άρα που δίνει .Θεωρώντας την κανονική μορφή του όπως πριν και επειδή έπεται πως που όπως θα δούμε και παρακάτω αποτελεί την μοναδική λύση του προβλήματος.
Είναι λοιπόν .
- Περίπτωση 2η (φτάσαμε και εδώ ) :Αν .
Τότε είναι .
- Υποπερίπτωση 1η: .Τότε .
- Αν τότε από την παίρνουμε ότι οι λύσεις είναι άτοπο.
- Όπως πριν καταλήγουμε σε άτοπο επειδή από τη είναι .
- Υποπερίπτωση 2η: .Τότε ακριβώς όπως πριν που καταλήγει σε άτοπο λόγω της
Ωραία!
Σχετικό πρόβλημα: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=7016
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες