Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am

ΘΕΜΑ 1
Αν  a^3+b^3+c^3=4abc και a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc+1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\displaystyle{\left(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\right)-(ab+ac+bc).}


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB <AC. Το σημείο E βρίσκεται στην πλευρά AC έτσι ώστε AB = AE. Το τμήμα AD είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, και το σημείο S είναι το μέσο του τόξου BC που δεν περιέχει το A. Αν F είναι το συμμετρικό του D ως προς το S, να αποδείξετε ότι οι ευθείες F E και AC είναι κάθετες.


ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (m, n, p), όπου p πρώτος, για τις οποίες ισχύει (m^3+n)(n^3+m)=p^3.


ΘΕΜΑ 4
Η συμμετρική διαφορά \displaystyle{A\triangle B} δύο συνόλων A και B ορίζεται ως

A\triangle B = (A \cup  B) \setminus  (A \cap B).

Αν A_i το σύνολο με στοιχεία όλα τα πολλαπλάσια του i που ανήκουν στο \{1, 2, ... , 1000\}, να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου

\displaystyle{A_1 \triangle (A_2 \triangle (A_3 \triangle ...  \triangle (A_{999} \triangle A_{1000}) ... )).}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 323
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am

4.
Έστω ότι μένει ο k στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε i που διαιρεί το k και μόνο για αυτά τα i,όταν φτάσουμε στο A_{i} η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του k στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το k στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει \left \lfloor \sqrt{1000} \right \rfloor στοιχεία.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 30, 2020 12:49 am

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 1
Αν  a^3+b^3+c^3=4abc και a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc+1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

\displaystyle{\left(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\right)-(ab+ac+bc).}
Από \rm Euler είναι \rm \sum a^3-3abc=\sum a\cdot (\sum a^2-\sum ab)=\sum a\Leftrightarrow abc=a+b+c
Οπότε \rm \sum \dfrac{a+b}{c}-\sum ab=\sum \dfrac{abc-c}{c}-\sum ab=\sum ab-\sum ab-3=-3


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 30, 2020 12:50 am

min## έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am
4.
Έστω ότι μένει ο k στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε i που διαιρεί το k και μόνο για αυτά τα i,όταν φτάσουμε στο A_{i} η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του k στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το k στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει \left \lfloor \sqrt{1000} \right \rfloor στοιχεία.
Ακριβώς! Και σε χρόνο ρεκόρ :D

Όπως φαίνεται και από το λινκ, το πρόβλημα είναι από την "SOUTH AFRICAN TERTIARY MATHEMATICS OLYMPIAD".
Θα ποστάρω τις πιο ενδιαφέρουσες ερωτήσεις!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 30, 2020 11:46 am

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με AB <AC. Το σημείο E βρίσκεται στην πλευρά AC έτσι ώστε AB = AE. Το τμήμα AD είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, και το σημείο S είναι το μέσο του τόξου BC που δεν περιέχει το A. Αν F είναι το συμμετρικό του D ως προς το S, να αποδείξετε ότι οι ευθείες F E και AC είναι κάθετες.
294.PNG
294.PNG (30.02 KiB) Προβλήθηκε 976 φορές
Είναι \rm \angle DSA=90^{\circ} άρα \rm AD=AF.Τα \rm DE,FD είναι κάθετα στην ίδια ευθεία και έχουν κοινή μεσοκάθετο άρα το \rm BEDF είναι ισοσκελές τραπέζιο \rm \angle DFE=\angle BDF=\angle BDF=\dfrac{\angle A}{2}=180^{\circ}-\angle EDS\Leftrightarrow FE\parallel DC\perp AC\Rightarrow FE\perp AC


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Απρ 11, 2020 11:33 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (m, n, p), όπου p πρώτος, για τις οποίες ισχύει (m^3+n)(n^3+m)=p^3.
To ξεκίνημα:
Για m=n δεν έχουμε λύσεις.
Έστω λοιπόν m>n. Τότε m^3+n>n^3+m οπότε m^3+n=p^2 \ & \ n^3+m=p.
Έτσι \displaystyle{(p-n^3)^3+n=p^2 } συνεπώς  p|n^9-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)
Οπότε...


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 832
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 12, 2020 12:31 am

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (m, n, p), όπου p πρώτος, για τις οποίες ισχύει (m^3+n)(n^3+m)=p^3.
Αφού \rm p πρώτος και \rm m^3+n,n^3+m>1 ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως \rm m\geq n οπότε αναγκαστικά \rm m^3+n=p^2,n^3+m=p.Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί \rm m=n.
Αντικαθιστούμε το \rm m και παίρνουμε πως \rm (p-n^3)^3+n=p^2.Η τελευταία \rm modp δίνει \rm p\mid n^9-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1).
Επειδή \rm p=n^3+m θα είναι \rm p>n,n-1,n+1,n^2+1 οπότε οι περιπτώσεις είναι \rm n=1 ή \rm p\mid n^4+1.
Αν \rm p\mid n^4+1 τότε \rm n^3+m \mid n^4+1 όμως \rm n^3+m \mid n^4+mn άρα \rm n^3+m \mid mn άρα \rm mn \geq n^3+m που δίνει \rm m\geq \dfrac{n^3}{n-1}.
Όμως \rm mn\geq p\Leftrightarrow m^2n^2\geq p^2=m^3+n \Leftrightarrow m^2(n^2-m)\geq n>0 δηλαδή \rm n^2\geq m \geq \dfrac{n^3}{n-1} που δίνει \rm n-1\geq n άτοπο.
Άρα \rm n=1 και έτσι \rm p^2=p^2 \Leftrightarrow m^3+1=(1+m)^2 \Leftrightarrow m^3=m^2+2m \Leftrightarrow m(m-1)=2 που δίνει \rm m=2,p=3.

Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι \rm (m,n,p)=(1,2,3),(2,1,3)


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Απρ 15, 2020 7:48 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 12:31 am
socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (m, n, p), όπου p πρώτος, για τις οποίες ισχύει (m^3+n)(n^3+m)=p^3.
Αφού \rm p πρώτος και \rm m^3+n,n^3+m>1 ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως \rm m\geq n οπότε αναγκαστικά \rm m^3+n=p^2,n^3+m=p.Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί \rm m=n.
Αντικαθιστούμε το \rm m και παίρνουμε πως \rm (p-n^3)^3+n=p^2.Η τελευταία \rm modp δίνει \rm p\mid n^9-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1).
Επειδή \rm p=n^3+m θα είναι \rm p>n,n-1,n+1,n^2+1 οπότε οι περιπτώσεις είναι \rm n=1 ή \rm p\mid n^4+1.
Αν \rm p\mid n^4+1 τότε \rm n^3+m \mid n^4+1 όμως \rm n^3+m \mid n^4+mn άρα \rm n^3+m \mid mn\color{red} -1 άρα \rm mn \geq n^3+m που δίνει \rm m\geq \dfrac{n^3}{n-1}.
Όμως \rm mn\geq p\Leftrightarrow m^2n^2\geq p^2=m^3+n \Leftrightarrow m^2(n^2-m)\geq n>0 δηλαδή \rm n^2\geq m \geq \dfrac{n^3}{n-1} που δίνει \rm n-1\geq n άτοπο.
Άρα \rm n=1 και έτσι \rm p^2=p^2 \Leftrightarrow m^3+1=(1+m)^2 \Leftrightarrow m^3=m^2+2m \Leftrightarrow m(m-1)=2 που δίνει \rm m=2,p=3.

Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι \rm (m,n,p)=(1,2,3),(2,1,3)
Μικρό τυπογραφικό, που δεν αλλάζει την ουσία...

Μπορούμε να τελειώσουμε πιο γρήγορα αν παρατηρήσουμε ότι p=n^3+m|mn-1, όμως p>mn από την αρχική... ;)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες