Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Αν και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο με . Το σημείο βρίσκεται στην πλευρά έτσι ώστε . Το τμήμα είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , και το σημείο είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το Αν είναι το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτος, για τις οποίες ισχύει .
ΘΕΜΑ 4
Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων και ορίζεται ως
Αν το σύνολο με στοιχεία όλα τα πολλαπλάσια του που ανήκουν στο να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου
Αν και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο με . Το σημείο βρίσκεται στην πλευρά έτσι ώστε . Το τμήμα είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , και το σημείο είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το Αν είναι το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων όπου πρώτος, για τις οποίες ισχύει .
ΘΕΜΑ 4
Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων και ορίζεται ως
Αν το σύνολο με στοιχεία όλα τα πολλαπλάσια του που ανήκουν στο να προσδιορίσετε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
4.
Έστω ότι μένει ο στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε που διαιρεί το και μόνο για αυτά τα ,όταν φτάσουμε στο η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει στοιχεία.
Έστω ότι μένει ο στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε που διαιρεί το και μόνο για αυτά τα ,όταν φτάσουμε στο η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει στοιχεία.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Ακριβώς! Και σε χρόνο ρεκόρmin## έγραψε: ↑Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am4.
Έστω ότι μένει ο στο τέλος.
Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής:
Για κάθε που διαιρεί το και μόνο για αυτά τα ,όταν φτάσουμε στο η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το στο τέλος ,πρέπει να έχει περιττό αριθμό διαιρετών,δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο κτλ.
Άρα το τελικό σύνολο έχει στοιχεία.
Όπως φαίνεται και από το λινκ, το πρόβλημα είναι από την "SOUTH AFRICAN TERTIARY MATHEMATICS OLYMPIAD".
Θα ποστάρω τις πιο ενδιαφέρουσες ερωτήσεις!
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Είναι άρα .Τα είναι κάθετα στην ίδια ευθεία και έχουν κοινή μεσοκάθετο άρα το είναι ισοσκελές τραπέζιοsocrates έγραψε: ↑Δευ Μαρ 30, 2020 12:19 am
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο με . Το σημείο βρίσκεται στην πλευρά έτσι ώστε . Το τμήμα είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , και το σημείο είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το Αν είναι το συμμετρικό του ως προς το , να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Αφού πρώτος και ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως οπότε αναγκαστικά .Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί .
Αντικαθιστούμε το και παίρνουμε πως .Η τελευταία δίνει .
Επειδή θα είναι οπότε οι περιπτώσεις είναι ή .
Αν τότε όμως άρα άρα που δίνει .
Όμως δηλαδή που δίνει άτοπο.
Άρα και έτσι που δίνει .
Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Μικρό τυπογραφικό, που δεν αλλάζει την ουσία...ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Απρ 12, 2020 12:31 amΑφού πρώτος και ,θεωρούμε χωρίς βλάβη πως οπότε αναγκαστικά .Εύκολα βλέπουμε πως η δεν μπορεί .
Αντικαθιστούμε το και παίρνουμε πως .Η τελευταία δίνει .
Επειδή θα είναι οπότε οι περιπτώσεις είναι ή .
Αν τότε όμως άρα άρα που δίνει .
Όμως δηλαδή που δίνει άτοπο.
Άρα και έτσι που δίνει .
Έτσι η μόνη δεκτές λύσεις είναι οι
Μπορούμε να τελειώσουμε πιο γρήγορα αν παρατηρήσουμε ότι όμως από την αρχική...
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες