Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Μαρ 12, 2020 1:29 pm

ΘΕΜΑ 1
Οι διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι a, b, c, με (a, b, c) = 1 είναι τέτοιοι ώστε

\displaystyle{a | (b − c)^2,\ \ \ \ b | (c − a)^2 \ \ και \ \ c | (a − b)^2.}

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών a, b και c.


ΘΕΜΑ 2
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία πρώτων αριθμών p_0, p_1, p_2, . . . τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο k να ισχύει:
p_k = 2p_{k−1} + 1 ή p_k = 2p_{k−1} − 1.


ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD και έστω M και N τα μέσα των διαγωνίων AC και BD, αντίστοιχα.
Αν \angle AMB = \angle AMD, να αποδείξετε ότι \angle ANB = \angle BNC.


ΘΕΜΑ 4
Στην τελευταία Μαθηματική Ολυμπιάδα συμμετείχαν 300 μαθητές. Παρατηρήθηκε ότι ανάμεσα σε 3 οποιουσδήποτε μαθητές, υπήρχαν δύο που δεν γνωρίζονταν μεταξύ τους. Έστω x_i το πλήθος των γνωστών του i- στού μαθητή.
Αν \{x_1, x_2, . . . , x_{299}, x_{300}\} = \{1, 2, . . . , N − 1, N\}, να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του N.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 837
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Μαρ 12, 2020 1:44 pm

socrates έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 1:29 pm

ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD και έστω M και N τα μέσα των διαγωνίων AC και BD, αντίστοιχα.
Αν \angle AMB = \angle AMD, να αποδείξετε ότι \angle ANB = \angle BNC.

266.JPG
266.JPG (41.63 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Από εδώ έχουμε πως η DB είναι συμμετροδιάμεσος στο ADC δηλαδή το ABCD είναι αρμονικό και από τον ίδιο σύνδεσμο έπεται πως αφού η AC είναι συμμετροδιάμεσος στο ADB θα είναι \angle ANB = \angle BNC.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Μαρ 12, 2020 3:04 pm

Καλησπέρα!

Για το 1ο θέμα:

Εστω (a,b)= d>1

Τότε a=xd,b=yd, (x,y)=1, και (d,c)=1

Αρα xd/(yd-c)^2\rightarrow d/c^2 κι επειδή (d,c)=1

έχω d=1

Δηλαδή (a,b)=1 και όμοια (b,c)=(c,a)=1

Εχω

ab/(c-b)^2(c-a)^2\Rightarrow ab/(ab+c^2-ca-bc)^2\Rightarrow ab/(c^2-ab-bc)^2

\Rightarrow ab/c^2(a+b-c)^2\Rightarrow ab/(a+b-c)^2

Ομοια bc/(b+c-a)^2,ca/(c+a-b)^2

Οπότε

(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2\geq a^2b^2c^2

Εστω ότι υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Τότε x,y,z> 0

όπου x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c

Εχω 8xyz\geq (x+y)(y+z)(z+x)

Όμως

(x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}2\sqrt{yz}2\sqrt{zx}=8xyz

Αρα η προηγούμενη ανισοισότητα ισχύει ως ισότητα και x=y=z\Leftrightarrow a=b=c, άτοπο, διοτι οι a,b,c

διαφορετικοί ανά δύο.


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 14, 2020 6:34 pm

socrates έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 1:29 pm
ΘΕΜΑ 2
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία πρώτων αριθμών p_0, p_1, p_2, . . . τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο k να ισχύει:
p_k = 2p_{k−1} + 1 ή p_k = 2p_{k−1} − 1.

Αρχίζω με έναν Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Ισχύει, p_k=2p_{k-1}-1, για κάθε k θετικό ακέραιο ή p_k=2p_{k-1}+1, για κάθε k θετικό ακέραιο.

Απόδειξη: Αρχικά, δείχνω ότι p_0 \neq 3. Πράγματι, αν p_0=3, υπολογίζοντας τους όρους p_1,p_2, \ldots προκύπτει άτοπο σε όλες τις περιπτώσεις.

\rightarrow Αν p_0 \equiv 1 \pmod 3, τότε αν p_1=2p_0+1 προκύπτει p_1 \equiv 0 \pmod 3, άτοπο. Άρα p_1=2p_0-1. Ομοίως προκύπτει ότι p_2=2p_1-1 και γενικά p_k=2p_{k-1}-1 για κάθε k.

\rightarrow Αν p_0 \equiv 2 \pmod 3, με παρόμοια επιχειρηματολογία, έχω ότι p_k=2p_{k-1}+1 για κάθε k \blacksquare.

Αν έχω τώρα ότι, p_k=2p_{k-1}+1, θα δείξω ότι υπάρχει m ώστε p_0 \mid p_m.

Πράγματι, μπορώ εύκολα να δείξω (π.χ. επαγωγικά) ότι p_i \equiv 2^i(p_0+1)-1 \pmod {p_0} για κάθε i.

Αρκεί να επιλέξω το i, ώστε 2^i(p_0+1)-1  \equiv 0 \pmod {p_0} \Rightarrow 2^{i} \equiv 1 \pmod {p_0}).

Τέτοιο i όμως προφανώς και υπάρχει (π.χ. παίρνοντας i=p_0-1, οπότε 2^{i} =2^{p_0-1} \equiv 1 \pmod {p_0} από το μικρό Θεώρημα του Fermat).

Αν πάλι έχω p_k=2p_{k-1}-1, είναι p_i \equiv 2^i(p_0-1)+1 \pmod {p_0}, οπότε παίρνοντας i=p_0-1, κάνει τη δουλειά.

Τελικά, σ'όλες τις περιπτώσεις έχω άτοπο, οπότε δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
giannisd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Κυρ Μαρ 22, 2020 4:02 pm

ΘΕΜΑ 4
Στην τελευταία Μαθηματική Ολυμπιάδα συμμετείχαν 300 μαθητές. Παρατηρήθηκε ότι ανάμεσα σε 3 οποιουσδήποτε μαθητές, υπήρχαν δύο που δεν γνωρίζονταν μεταξύ τους. Έστω x_i το πλήθος των γνωστών του i- στού μαθητή.
Αν \{x_1, x_2, . . . , x_{299}, x_{300}\} = \{1, 2, . . . , N − 1, N\}, να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του N.
Η απάντηση είναι N\leq 200

Πρώτα θα δείξω ότι x_i+x_j\leq 300 όταν ο μαθητής i είναι φίλος του j.
Πράγματι παίρνω δύο φίλους i και j που έχουν x_i,x_j\leq N φίλους αντίστοιχα.
Από τη συνθήκη δεν έχουν κοινό φίλο, άρα:
\displaystyle{x_i-1+x_j-1\leq 298 \iff x_i+x_j\leq 300}

Έστω N\geq 201. Παίρνω wlog τον πρώτο μαθητή με x_1=201. Τότε υπάρχουν τουλάχιστον άλλα 100 άτομα με τουλάχιστον 100 φίλους το καθένα, επομένως δεν μπορούν αυτά να είναι φίλοι του πρώτου μαθητή. Άρα x_1<200 άτοπο.

Κατασκευή για N=200:
Χωρίζω τους μαθητές σε δύο ομάδες G_A=\{A_1,A_2,\ldots,A_{100}\} και G_B=\{B_1,B_2,\ldots,B_{200}\}, ώστε μαθητές της ίδιας ομάδας να μην είναι φίλοι και ο μαθητής A_i να είναι φίλος των μαθητών B_i,B_{i+1},\ldots,B_{200}.
Η συνθήκη προφανώς ικανοποιείται, άρα τελειώσαμε. \blacksquare


stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Πέμ Ιούλ 02, 2020 4:42 pm

ksofsa έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 3:04 pm
Καλησπέρα!

Για το 1ο θέμα:

Εστω (a,b)= d>1

Τότε a=xd,b=yd, (x,y)=1, και (d,c)=1

Αρα xd/(yd-c)^2\rightarrow d/c^2 κι επειδή (d,c)=1

έχω d=1
Μπορεί να μου εξηγήσει κάνεις πως βγαίνει ότι d διαιρεί το c^2?


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 560
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (9), Μεγάλοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Ιούλ 02, 2020 4:57 pm

Κάνεις ταυτότητα και αφού το d διαιρεί τους 2 όρους θα διαιρεί και το c^2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες