Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Οι πραγματικοί αριθμοί , , είναι διαφορετικοί από το και ισχύει:
(1)
(2)
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τα οποία ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο με την ιδιότητα:
Αν βάψουμε μαύρα ακριβώς κελιά ενός πίνακα τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.
ΘΕΜΑ 4
Σε ένα τρίγωνο , η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας τέμνει την ευθεία στο . Τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία και στην ευθεία είναι τα και , αντίστοιχα, ενώ το ίχνος της κάθετης από το στην είναι το .
Να αποδείξετε ότι .
Οι πραγματικοί αριθμοί , , είναι διαφορετικοί από το και ισχύει:
(1)
(2)
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τα οποία ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο με την ιδιότητα:
Αν βάψουμε μαύρα ακριβώς κελιά ενός πίνακα τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.
ΘΕΜΑ 4
Σε ένα τρίγωνο , η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας τέμνει την ευθεία στο . Τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία και στην ευθεία είναι τα και , αντίστοιχα, ενώ το ίχνος της κάθετης από το στην είναι το .
Να αποδείξετε ότι .
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Έχουμε
(3) οπότε
η 2μέσο της ένα γίνεται
1η περίπτωση άτοπο
2η περίπτωση (4)
άρα από (3), (4) έχουμε
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Ωραία!Xriiiiistos έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 1:20 pmΈχουμε
(3) οπότε
η 2μέσο της ένα γίνεται
1η περίπτωση άτοπο
2η περίπτωση (4)
άρα από (3), (4) έχουμε
Μπορούμε, για ευκολία στο χειρισμό, να θέσουμε
Η άσκηση είναι από εδώ:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 22p9199767
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
.Επίσης .Από τα παραπάνω έπεται ότι .
Αν τότε πρέπει το οποίο είναι προφανώς αδύνατον.
Αν τότε
Για είναι άρα .
- Για
Τότε θα πρέπει ,όμως άρα που δίνει τις λύσεις
- Για
Πρέπει .'Ομως άρα από όπου .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
.
Αρκεί δηλαδή η να είναι διχοτόμος της .
Όμως από όπου έπεται το ζητούμενο αφού
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Σάβ Μαρ 14, 2020 9:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Ωραία!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 6:52 pm.Επίσης .Από τα παραπάνω έπεται ότι .
Αν τότε πρέπει το οποίο είναι προφανώς αδύνατον.
Αν τότε
Για είναι άρα .
- Για
Τότε θα πρέπει ,όμως άρα που δίνει τις λύσειςΛύσεις λοιπόν οι
- Για
Πρέπει .'Ομως άρα από όπου .
Το πρέπει να το μελετήσουμε ξεχωριστά, καθώς τότε δεν ισχύει απαραίτητα
Γενικά, αν τότε ή !
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Καλημέρα!socrates έγραψε: ↑Τρί Μαρ 10, 2020 3:40 amΩραία!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 6:52 pm.Επίσης .Από τα παραπάνω έπεται ότι .
Αν τότε πρέπει το οποίο είναι προφανώς αδύνατον.
Αν τότε
Για είναι άρα .
- Για
Τότε θα πρέπει ,όμως άρα που δίνει τις λύσειςΛύσεις λοιπόν οι
- Για
Πρέπει .'Ομως άρα από όπου .
Το πρέπει να το μελετήσουμε ξεχωριστά, καθώς τότε δεν ισχύει απαραίτητα
Γενικά, αν τότε ή !
Για πρέπει άρα πρέπει
δηλαδή έχουμε και την λύση με φυσικό.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Ωραία! (Στην πρώτη σειρά υπάρχουν typos... )ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 8:38 pm
260.PNG
.
Αρκεί δηλαδή η να είναι διχοτόμος της .
Όμως από όπου έπεται το ζητούμενο αφού
Άλλες λύσεις:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 96p3506431
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Με τον παρακάτω χρωματισμό βλέπουμε πως .Θα αποδείξω πως για υπάρχει πάντα ένα τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά. Αριθμούμε τις στήλες και τις γραμμές όπως στο σχήμα.Έστω προς άτοπο ότι προσπαθούμε να φτιάξουμε χρωματισμό ώστε να μην ισχύει το ζητούμενο.Έτσι ο μέγιστος αριθμός μαύρων κελιών που μπορεί να έχει ένας πίνακας αποτελούμενος από διαδοχικές στήλες (με όλες τις γραμμές) προκύπτει εάν ο χρωματισμός είναι τέτοιος ώστε σε κάθε τετράγωνο να υπάρχουν μαύρα κελιά .Τέτοιος χρωματισμός είναι ο παρακάτω και έχει συνολικά μαύρα κελιά. Έτσι οι στήλες μαζί έχουν το πολύ κελιά μαύρα ομοίως και οι .Έτσι λοιπόν οι σι στήλες μαζί έχουν τουλάχιστον μαύρα κελιά.
Αν συνολικά στις στήλες υπάρχουν μαύρα κελιά τότε στις θα υπάρχουν .Έχουμε
- Εάν η στήλη έχει μαύρα κελιά τότε προκειμένου να μην ισχύει το ζητούμενο η θα είναι άδεια.Αν τότε άρα θα πρέπει οι στήλες να έχουν συνολικά περισσότερα ή ίσα από μαύρα.Επειδή όμως το είναι το μέγιστο αναγκαστικά αυτές θα έχουν τον σχηματισμό του σχήματος ''272'' πιο πάνω και έτσι μαζί με την στήλη δημιουργούν σίγουρα ένα τετράγωνο για το οποίο ισχύει το ζητούμενο.Άρα το οποίο οδηγεί εύκολα σε άτοπο.
- Αν η στήλη περιέχει μαύρα τότε η περιέχει το πολύ μαύρο. Αν τότε άρα οι έχουν περισσότερα ή ίσα από μαύρα.Επειδή όμως το είναι το μέγιστο αναγκαστικά αυτές θα έχουν τον σχηματισμό του σχήματος ''272'' πιο πάνω και έτσι μαζί με την στήλη δημιουργούν σίγουρα ένα τετράγωνο για το οποίο ισχύει το ζητούμενο.Άρα θα είναι άτοπο αφού η έχει το πολύ
- Αν η έχει τότε οι έχουν αναγκαστικά και εύκολα έχουμε άτοπο.
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν για υπάρχει ένα τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Αλλιώς:
Έστω, προς άτοπο, ότι δεν υπάρχει τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.
Παίρνουμε το πάνω αριστερά τετράγωνο, το οποίο χωρίζουμε σε 9 τετράγωνα
Καθένα από τα τετράγωνα έχει το πολύ δύο μαύρα κελιά, άρα στο υπάρχουν το πολύ 18 μαύρα κελιά.
Τα υπόλοιπα 11 τουλάχιστον μαύρα βρίσκονται στην 7η γραμμή ή στην 7η στήλη. Η 7η γραμμή και η 7η στήλη έχουν μαζί 13 κελιά.
Άρα το πολύ δύο θα είναι λευκά.
Αν όλα τα κελιά είναι μαύρα, τότε έχουμε άτοπο από το τετράγωνο κάτω δεξιά.
Αν 12 κελιά είναι μαύρα,
- αν το κελί κάτω δεξιά είναι μαύρο, το κελί (6,7) ή το (7,6) είναι μαύρο και το άλλο άσπρο. Έστω το (7,6). Η τελευταία γραμμή είναι τότε όλη μαύρη οπότε η 6η γραμμή και η 6η στήλη όλη άσπρη. Άρα στο πάνω αριστερά τετράγωνο υπάρχουν 17 μαύρα κελιά.
Παρόμοια, το χωρίζουμε σε ένα τετράγωνο και ένα "γάμμα". Στο τετράγωνο υπάρχουν 4 τετράγωνα , στα οποία υπάρχουν συνολικά το πολύ 8 μαύρα κελιά, οπότε στο γάμμα υπάρχουν 9, άτοπο.
- αν το κελί κάτω δεξιά είναι άσπρο τότε τα (6,7) και (7,6) είναι μαύρα. Δουλεύοντας παρόμοια με πριν, η 6η γραμμή και η 6η στήλη είναι όλη άσπρη. Άρα στο πάνω αριστερά τετράγωνο υπάρχουν 17 μαύρα κελιά κτλ...
Αν 11 κελιά είναι μαύρα, τότε σε κάθε τετράγωνο του πάνω αριστερά υπάρχουν ακριβώς 2 μαύρα.
- αν το κελί κάτω δεξιά είναι μαύρο, τότε
-- αν τα (6,7) και (7,6) είναι άσπρα τότε βάφοντας κατάλληλα τη σκακιέρα από κάτω προς τα πάνω έχουμε άτοπο στην 3η γραμμή
-- αν π.χ. το (6,7) είναι μαύρο και το (7,6) άσπρο, βάφοντας κατάλληλα τη σκακιέρα από κάτω προς τα πάνω έχουμε άτοπο.
- αν το κελί κάτω δεξιά είναι άσπρο, τότε τότε η υπόλοιπη 7η γραμμή ή στήλη θα είναι μαύρη. Βάφοντας κατάλληλα τη σκακιέρα από κάτω προς τα πάνω έχουμε άτοπο.
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Το Πρόβλημα 1 είναι και το Πρόβλημα 1 της Μαθηματικής Ολυμπιάδας για Juniors της Κορέας το 2011.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 22p9199767
Το Πρόβλημα 2 είναι το Πρόβλημα 5 από τον ίδιο διαγωνισμό το 2014.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 9p12272109
https://artofproblemsolving.com/communi ... 22p9199767
Το Πρόβλημα 2 είναι το Πρόβλημα 5 από τον ίδιο διαγωνισμό το 2014.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 9p12272109
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες