Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Για τους διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακέραιους a,b,c

γνωρίζουμε ότι a+b+c<100

και ότι οι αριθμοί a+b-c, a+c-b, b+c-a

είναι τέλεια τετράγωνα. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του a+b+c.

ΘΕΜΑ 2
Έστω

το μέσο της πλευράς

τριγώνου

Η συμμετρική ευθεία της

ως προς την ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

στο σημείο

Αν

το σημείο τομής της ευθείας

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

, να αποδείξετε ότι AE = BD.

ΘΕΜΑ 3
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης x+y +z

αν

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με 16xyz = (x + y)^2(x + z)^2.

ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με το άθροισμα δύο αριθμών των οποίων το γινόμενο ισούται με τον αριθμό στον πίνακα.
Να προσδιορίσετε τον μικρότερο αριθμό που είναι δυνατόν να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am ΘΕΜΑ 1
Για τους διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακέραιους γνωρίζουμε ότι και ότι οι αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του .

Έστω

.Τότε εάν $\left\{\begin{matrix} &a+b-c=k^2 & \\ & a+c-b=l^2 & \\ & b+c-a=m^2 & \end{matrix}\right.$ θα είναι k> l> m

(φυσικοί αριθμοί).
Επίσης έπεται ότι $\left\{\begin{matrix} & 2a=k^2+l^2 & \\ & 2b=k^2+m^2 & \\ & 2c=m^2+l^2 & \\ \end{matrix}\right.$ και έτσι θα πρέπει $k\equiv m\equiv l\pmod2$ .
Με πρόσθεση των τριών σχέσεων παίρνουμε ότι k^2+l^2+m^2=a+b+c<100

. Αν $m\geq 4$ τότε $l\geq 6$ και $k\geq 8$ άρα $k^2+l^2+m^2\geq 8^2+6^2+4^2> 100$ άτοπο.
Για m=3

: Αν $l\neq 5$ τότε $l\geq 7,k\geq 9$ που δίνει k^2+l^2+m^2> 100

άτοπο.
Άρα l=5

και εύκολα k=7

που δίνει

δηλαδή

.
Για

αν $l\neq 4$ τότε $k\geq 8$ που δίνει άτοπο ,άρα l=4

και εύκολα $k\leq 8$ .
Για k=6

είναι

ενώ για

είναι

Για

είναι $l=\left \{ 3,5 \right \}$ .Όταν l=5

είναι $k_{max}=7$ άρα $a+b+c\leq 1+49+25=75<84$ αλλά για l=3

μπορεί

και έτσι

Άρα $\left ( a+b+c \right )_{max}=91$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am ΘΕΜΑ 2
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου Η συμμετρική ευθεία της ως προς την ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο Αν το σημείο τομής της ευθείας με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , να αποδείξετε ότι

: 253.PNG (31.18 KiB) Προβλήθηκε 1190 φορές

Έστω ότι η

-συμμετροδιάμεσος ευθεία του ABC

τέμνει τον (A,B,C)

στο

.Τότε είναι $\angle EAB=\angle MCB=\angle ACE=\angle ABM\Rightarrow EA=BM$ .Επίσης το BAEM

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε τα τρίγωνα PEA,PMB

είναι ίσα και έτσι $\angle BPA=\angle APE=\angle MPB$ άρα $M\equiv D$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ορέστης Λιγνός · #4

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am
ΘΕΜΑ 3
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί με

Είναι, $(x(x+y+z)+yz)^2=(x+y)^2(x+z)^2=16xyz=4 \cdot 4x \cdot yz \leqslant (4x+yz)^2$ , οπότε $x(x+y+z)+yz \leqslant 4x+yz \Rightarrow x+y+z \leqslant 4$ .

Η ισότητα όταν π.χ. $x=12-8\sqrt{2}, y=z=4\sqrt{2}-4$ .

#5

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με το άθροισμα δύο αριθμών των οποίων το γινόμενο ισούται με τον αριθμό στον πίνακα.
Να προσδιορίσετε τον μικρότερο αριθμό που είναι δυνατόν να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #6

socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am
ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με το άθροισμα δύο αριθμών των οποίων το γινόμενο ισούται με τον αριθμό στον πίνακα.
Να προσδιορίσετε τον μικρότερο αριθμό που είναι δυνατόν να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας.

Βάζω μία λύση.

Για $n \in \{1,2,3,4 \}$ εύκολα ελέγχουμε ότι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εμφανιστεί είναι 2,3,4,4

αντίστοιχα.

Αν τώρα $n \geqslant 5$ , θα δείξω ότι ο μικρότερος αριθμός είναι ο

.

Καταρχήν, οποιαδήποτε αντικατάσταση της μορφής $ab=n \rightarrow a+b$ δίνει αριθμό $\geqslant 5$ . Πράγματι, τα $a,b \geqslant 1$ άρα $a+b \geqslant 2$ και :

i) αν $a+b=2 \Rightarrow a=b=1$ και n=ab=1

, άτοπο γιατί το

δεν γράφεται ως άθροισμα θετικών ακεραίων,
ii) αν a+b=3

, τότε

και

. Όμως, ο

προήλθε από το $1 \cdot 1 =1 \rightarrow 2$ , άτοπο αφού ο

δεν γράφεται ως άθροισμα θετικών ακεραίων,
iii) αν a+b=4

τότε ομοίως δουλεύοντας προς τα πίσω έχω άτοπο.

Άρα όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν είναι $\geqslant 5$ . Μένει να δείξω ότι πάντα προκύπτει ο

.

Προφανώς, κάθε μετατροπή της μορφής $ab \rightarrow a+b$ μειώνει τον αριθμό του πίνακα, εκτός και αν a=1

ή

. Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση όπου έχω πρώτο αριθμό και αναγκαστικά στον πίνακα θα γράψω τον επόμενό του. Δηλαδή έχω $1 \cdot p =p \rightarrow p+1$ .

Όμως τότε, μπορώ να γράψω $2 \cdot (p+1)/2 \rightarrow (p+3)/2$ , οπότε ο αριθμός του πίνακα τελικά μικραίνει (είναι p-(p+3)/2=(p-3)/2 >0

αφού $p \geqslant 5$ )

Συμπεραίνω λοιπόν ότι ο αριθμός του πίνακα μικραίνει, οπότε κάποια στιγμή θα προκύψει αριθμός μικρότερος του

. Εύκολα όμως ελέγχω ότι κάθε αριθμός $\leqslant 10$ δίνει μετά από κάποιες μετατροπές τον

.

Τελικά η απάντηση είναι:

i)

, αν

,
ii)

, αν

,
iii)

, αν $n \in \{3,4 \}$
iv)

, αν $n \geqslant 5$ .

#7

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Δευ Μαρ 09, 2020 3:42 pm
socrates έγραψε: Πέμ Μαρ 05, 2020 12:59 am
ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με το άθροισμα δύο αριθμών των οποίων το γινόμενο ισούται με τον αριθμό στον πίνακα.
Να προσδιορίσετε τον μικρότερο αριθμό που είναι δυνατόν να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας.
Βάζω μία λύση.

Για $n \in \{1,2,3,4 \}$ εύκολα ελέγχουμε ότι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εμφανιστεί είναι αντίστοιχα.

Αν τώρα $n \geqslant 5$ , θα δείξω ότι ο μικρότερος αριθμός είναι ο .

Καταρχήν, οποιαδήποτε αντικατάσταση της μορφής $ab=n \rightarrow a+b$ δίνει αριθμό $\geqslant 5$ . Πράγματι, τα $a,b \geqslant 1$ άρα $a+b \geqslant 2$ και :

i) αν $a+b=2 \Rightarrow a=b=1$ και , άτοπο γιατί το δεν γράφεται ως άθροισμα θετικών ακεραίων,
ii) αν , τότε και . Όμως, ο προήλθε από το $1 \cdot 1 =1 \rightarrow 2$ , άτοπο αφού ο δεν γράφεται ως άθροισμα θετικών ακεραίων,
iii) αν τότε ομοίως δουλεύοντας προς τα πίσω έχω άτοπο.

Άρα όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν είναι $\geqslant 5$ . Μένει να δείξω ότι πάντα προκύπτει ο .

Προφανώς, κάθε μετατροπή της μορφής $ab \rightarrow a+b$ μειώνει τον αριθμό του πίνακα, εκτός και αν ή . Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση όπου έχω πρώτο αριθμό και αναγκαστικά στον πίνακα θα γράψω τον επόμενό του. Δηλαδή έχω $1 \cdot p =p \rightarrow p+1$ .

Όμως τότε, μπορώ να γράψω $2 \cdot (p+1)/2 \rightarrow (p+3)/2$ , οπότε ο αριθμός του πίνακα τελικά μικραίνει (είναι αφού $p \geqslant 5$ )

Συμπεραίνω λοιπόν ότι ο αριθμός του πίνακα μικραίνει, οπότε κάποια στιγμή θα προκύψει αριθμός μικρότερος του . Εύκολα όμως ελέγχω ότι κάθε αριθμός $\leqslant 10$ δίνει μετά από κάποιες μετατροπές τον .

Τελικά η απάντηση είναι:

i) , αν ,
ii) , αν ,
iii) , αν $n \in \{3,4 \}$
iv) , αν $n \geqslant 5$ .

Ωραία!

Αλλιώς:
Για n=2m > 5

άρτιο, γράφουμε τον m+2

όπου

Για

περιττό, γράφουμε πρώτα τον 2m+2

και έπειτα τον m+3

όπου

κτλ...

Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση