Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε
ΘΕΜΑ 2
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε
Να δείξετε ότι
ΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.
Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.
Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα ήταν ίσοι με τον ακέραιο
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του
ΘΕΜΑ 4
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Η εφαπτομένη του στο τέμνει τον στο και η εφαπτομένη του
στο τέμνει τον στο Έστω σημείο τέτοιο ώστε το να είναι το μέσο του
Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε
ΘΕΜΑ 2
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε
Να δείξετε ότι
ΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.
Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.
Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα ήταν ίσοι με τον ακέραιο
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του
ΘΕΜΑ 4
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και Η εφαπτομένη του στο τέμνει τον στο και η εφαπτομένη του
στο τέμνει τον στο Έστω σημείο τέτοιο ώστε το να είναι το μέσο του
Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Στο τρίγωνο , η είναι διάμεσος και η , συμμετροδιάμεσος .
Αν αυτή είναι η λύση , μήπως είναι υπερβολικό για τους μικρούς ;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Υπάρχει και πιο στοιχειώδης λύση, που ταιριάζει στο επίπεδο των μικρών...
Ας βλέπουμε όμως λύσεις με οποιοδήποτε τρόπο, δεν υπάρχει κανένας περιορισμός!
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Αρχικά παρατηρούμε ότι άρα πρέπει .Έστω
Τότε οι τριάδες έχουν ίδια διάταξη και έτσι έπεται ότι και επειδή ισχύει η (*) πρέπει
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Αν τότε πρέπει
Θέτω .Τότε όμως το αριστερό μέλος είναι ενώ .
Άρα πρέπει με
Διακρίνω 2 περιπτώσεις:
i)Αν τότε πρέπει άτοπο (δεν υπάρχει κατάλληλος συνδυασμός)
ii) εντελώς όμοια καταλήγουμε σε άτοπο.
i) τότε πρέπει άτοπο (δεν υπάρχει κατάλληλος συνδυασμός)
ii) εντελώς όμοια καταλήγουμε σε άτοπο.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Η σχέση γράφεται
και βλέπουμε ότι ένα τετράγωνο είναι ισότιμο με , ενώ
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Τώρα που το ξαναβλέπω, δεν είναι απαραίτητο οι να είναι θετικοί. Αρκεί να είναι τέτοιοι ώστε να ορίζονται τα εμφανιζόμενα κλάσματα...
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Πολύ καλή !socrates έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 12:47 amΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.
Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.
Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα ήταν ίσοι με τον ακέραιο
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του
Το κλειδί είναι το κεντρικό κελί:
Έστω ότι η παρατήρηση έγινε αφού είχαν εφαρμοστεί συνολικά κινήσεις τύπου ''+1'' και τύπου ''-1''.
Σε κάθε κίνηση τύπου ''+1'' το ολικό άθροισμα μεταβάλλεται κατά ενώ σε κάθε ''-1'' κατά . Το αρχικό άθροισμα είναι .Θα είναι λοιπόν .'Ομως οποιοδήποτε τετράγωνο και να επιλέξουμε περιέχει το κεντρικό του οποίου έστω ότι η αρχική τιμή ήταν .Τότε θα είναι .
Από τις (1)(2) έπεται ότι που με δίνει και έτσι
Άρα .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Ωραία, αυτό είναι το κόνσεπτ!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 27, 2020 3:10 pmΠολύ καλή !socrates έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 12:47 amΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.
Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.
Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα ήταν ίσοι με τον ακέραιο
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του
Το κλειδί είναι το κεντρικό κελί:
Έστω ότι η παρατήρηση έγινε αφού είχαν εφαρμοστεί συνολικά κινήσεις τύπου ''+1'' και τύπου ''-1''.
Σε κάθε κίνηση τύπου ''+1'' το ολικό άθροισμα μεταβάλλεται κατά ενώ σε κάθε ''-1'' κατά . Το αρχικό άθροισμα είναι .Θα είναι λοιπόν .'Ομως οποιοδήποτε τετράγωνο και να επιλέξουμε περιέχει το κεντρικό του οποίου έστω ότι η αρχική τιμή ήταν .Τότε θα είναι .
Από τις (1)(2) έπεται ότι που με δίνει και έτσι
Άρα .
Είναι όμως , αφού κάθε φορά προσθέτω +1 ή -1 στο κεντρικό τετράγωνο. Η τελική απάντηση είναι η ίδια!
Μένει, επίσης, να δώσουμε παράδειγμα σκακιέρας που καταλήγει στην
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
σωστά.Είναιsocrates έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 27, 2020 7:31 pmΩραία, αυτό είναι το κόνσεπτ!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 27, 2020 3:10 pmΠολύ καλή !socrates έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 12:47 amΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.
Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.
Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα ήταν ίσοι με τον ακέραιο
Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του
Το κλειδί είναι το κεντρικό κελί:
Έστω ότι η παρατήρηση έγινε αφού είχαν εφαρμοστεί συνολικά κινήσεις τύπου ''+1'' και τύπου ''-1''.
Σε κάθε κίνηση τύπου ''+1'' το ολικό άθροισμα μεταβάλλεται κατά ενώ σε κάθε ''-1'' κατά . Το αρχικό άθροισμα είναι .Θα είναι λοιπόν .'Ομως οποιοδήποτε τετράγωνο και να επιλέξουμε περιέχει το κεντρικό του οποίου έστω ότι η αρχική τιμή ήταν .Τότε θα είναι .
Από τις (1)(2) έπεται ότι που με δίνει και έτσι
Άρα .
Είναι όμως , αφού κάθε φορά προσθέτω +1 ή -1 στο κεντρικό τετράγωνο. Η τελική απάντηση είναι η ίδια!
Μένει, επίσης, να δώσουμε παράδειγμα σκακιέρας που καταλήγει στην
Παιδεύτηκα πολύ να βρω πίνακα αλλά δεν βρήκα ακόμη...όταν βρω θα τον προσθέσω εδώ.Στην αρχική λύση νόμιζα πως δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ότι είναι δυνατόν γιατί μας το λέει το πρόβλημα ότι πράγματι συνέβη....
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες