Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am

ΘΕΜΑ 1
Έστω [x] το ακέραιο μέρος του x και \{x\} = x − [x] το δεκαδικό του μέρος. Να λύσετε στο \Bbb{R} την εξίσωση

\displaystyle{3\{x\} = x[x] + 1.}


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC, το ύψος του AD και το ορθόκεντρό του H. Φέρουμε εφαπτομένη από το σημείο B στον κύκλο κέντρου H και ακτίνας HD και έστω P\ne D το σημείο επαφής. Φέρουμε ακόμη εφαπτομένη από το C στον κύκλο κέντρου A και ακτίνας AD και έστω R \ne D το σημείο επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία PR περνάει από δύο ίχνη υψών του τριγώνου ABC.


ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί ακέραιοι a, b και c είναι τέτοιοι ώστε a^{b+c} = b^c c.
Να δείξετε ότι ο b διαιρεί τον c και ότι ο c είναι της μορφής d^b, για κάποιον θετικό ακέραιο d.


ΘΕΜΑ 4
Σε μια ακολουθία θετικών ακεραίων, ονομάζουμε αντιστροφή ένας ζεύγος θέσεων για το οποίο ο όρος που βρίσκεται στα αριστερά είναι μεγαλύτερος από τον όρο στα δεξιά.
Για παράδειγμα, η ακολουθία 2,5,3,1,3 έχει ακριβώς πέντε αντιστροφές.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός αντιστροφών που μπορεί να έχει μια ακολουθία θετικών ακεραίων με άθροισμα 2014;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Φεβ 25, 2020 6:14 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC, το ύψος του AD και το ορθόκεντρό του H. Φέρουμε εφαπτομένη από το σημείο B στον κύκλο κέντρου H και ακτίνας HD και έστω P\ne D το σημείο επαφής. Φέρουμε ακόμη εφαπτομένη από το C στον κύκλο κέντρου A και ακτίνας AD και έστω R \ne D το σημείο επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία PR περνάει από δύο ίχνη υψών του τριγώνου ABC.
238.PNG
238.PNG (46.92 KiB) Προβλήθηκε 1315 φορές
Φέρω BQ εφαπτόμενο τμήμα στον (A,AD) και CL εφαπτόμενο τμήμα στον (H,HD).Έστω BF,CE ύψη.Από το πρόβλημα εδώ έχουμε ότι Q,P,E συνευθειακά και L,F,R συνευθειακά.Όμως BD=BQ,AQ=AD\Rightarrow EQ=ED και \angle QEB=\angle BED οπότε η PE θα περνά από το F .Όμοια και η RF θα περνά από το E και το ζητούμενο έπεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3349
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 26, 2020 9:12 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω [x] το ακέραιο μέρος του x και \{x\} = x − [x] το δεκαδικό του μέρος. Να λύσετε στο \Bbb{R} την εξίσωση
\displaystyle{3\{x\} = x[x] + 1.}
Κάποτε αυτά γινόταν στο Λύκειο.

Θέτουμε [x] =k και \{x\}=c

Είναι 0\leq c< 1(1)

Η εξίσωση γίνεται

3c=(c+k)k+1\Leftrightarrow c=\frac{k^{2}+1}{3-k}

Φυσικά είναι k\in \mathbb{Z}

και λόγω της (1)k=0,-1.

Τελικά οι ρίζες είναι τα \frac{1}{3},-\frac{1}{2}


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 10, 2020 3:47 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am
ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί ακέραιοι a, b και c είναι τέτοιοι ώστε a^{b+c} = b^c c.
Να δείξετε ότι ο b διαιρεί τον c και ότι ο c είναι της μορφής d^b, για κάποιον θετικό ακέραιο d.
Θεωρήστε έναν πρώτο που διαιρεί τους a,b,c και την μέγιστη δύναμή του που διαιρεί καθέναν από αυτούς...


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6158
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 10, 2020 3:47 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ακολουθία θετικών ακεραίων, ονομάζουμε αντιστροφή ένας ζεύγος θέσεων για το οποίο ο όρος που βρίσκεται στα αριστερά είναι μεγαλύτερος από τον όρο στα δεξιά.
Για παράδειγμα, η ακολουθία 2,5,3,1,3 έχει ακριβώς πέντε αντιστροφές.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός αντιστροφών που μπορεί να έχει μια ακολουθία θετικών ακεραίων με άθροισμα 2014;
Μας συμφέρει:
i) η ακολουθία να είναι φθίνουσα και
ii) η ακολουθία να περιέχει μόνο άσσους και δυάρια
(γιατί;)

Αφήνω τα υπόλοιπα για όποιον ασχοληθεί! :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιουν 18, 2020 9:45 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am

ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί ακέραιοι a, b και c είναι τέτοιοι ώστε a^{b+c} = b^c c.
Να δείξετε ότι ο b διαιρεί τον c και ότι ο c είναι της μορφής d^b, για κάποιον θετικό ακέραιο d.
Μία απόδειξη για το πρώτο σκέλος, για το δεύτερο δεν κατέληξα ακόμη κάπου...ίσως συμπληρώσει κάποιος άλλος.

Αρχικά δείχνω πως για κάθε πρώτο \rm p\mid b είναι \rm p\mid c.Είναι \rm p\mid b\Rightarrow p\mid b^cc=a^{b+c}\Rightarrow p\mid a.Έστω ότι \rm p\nmid c , γράφουμε \rm a=p^{a_1}a_2,b=p^{b_1}b_2,gcd(a_2,p)=gcd(b_2,p)=1.
Με αντικατάσταση στην αρχική έχουμε \rm p^{(b+c)a_1}a_2^{b+c}=p^{cb_1}b_2^cc.
Οπότε θα είναι \rm (b+c)a_1=cb_1\Leftrightarrow (p^{b_1}b_2+c)a_1=cb_1\Rightarrow p^{b_1}b_2\equiv 0\pmod c\Leftrightarrow c\mid b_2 αφού \rm gcd(c,p^{b_1})=1.Από τα παραπάνω \rm b_2\geq c.
Άρα \rm b_1c=(p^{b_1}b_2+c)a_1\geq ca_1(p^{b_1}+1)\Leftrightarrow b_1\geq a_1(p^{b_1}+1)>2^{b_1} άτοπο!
Έστω λοιπόν \rm p ένας πρώτος διαιρέτης του \rm b που όπως δείξαμε θα είναι και των \rm a,c.
Γράφουμε \rm a=p^{a_1}a_2,b=p^{b_1}b_2,c=p^{c_1}c_2 με \rm gcd(c_2,p)=gcd(a_2,p)=gcd(b_2,p)=1
Θα είναι \rm u_p(a^{b+c})=u_p(b^cc) από όπου \rm b_1c+c_1=a_1(b+c)=a_1(p^{b_1}b_2+p^{c_1}c_2).
Έστω \rm a_1=p^{a_3}a_4,b_1=p^{b_3}b_4,c_1=c^{c_3}c_4,a_3,b_3,c_3\geq 0 και
\rm gcd(c_4,p)=gcd(a_4,p)=gcd(b_4,p)=1.
Θα είναι \rm u_p(cb_1+c_1)=min \left \{c_1+b_3,c_3  \right \}=c_3 αφού \rm c_1=p^{c_3}c_4>c_3.
Επίσης \rm u_p(a_1(b+c))=a_3+min\left \{ b_1,c_1 \right \}.Αν ήταν \rm c_1\leq b_1 τότε \rm c_1+a_1=c_3<c_1 άτοπο.Άρα \rm b_1\leq c_1.
Επειδή όμως κάθε πρώτος διαιρέτης του \rm b είναι και του \rm c έπεται ότι \rm b\mid c


giannisd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Παρ Ιουν 19, 2020 12:17 pm

socrates έγραψε:
Τρί Φεβ 25, 2020 2:37 am

ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί ακέραιοι a, b και c είναι τέτοιοι ώστε a^{b+c} = b^c c.
Να δείξετε ότι ο b διαιρεί τον c και ότι ο c είναι της μορφής d^b, για κάποιον θετικό ακέραιο d.
Λίγο πιο γρήγορα μαζί με το δεύτερο ερώτημα.

Έστω p πρώτος που διαιρεί τον a. Για συντομία \nu_p(a) = k, \nu_p(b) = \ell και \nu_p(c) = m.
Θέλω να δείξω ότι \ell\leq m και b\mid m.

Από τη δοθείσα:
\displaystyle{k(b+c)= c\ell + m \quad (1)}

Αν \ell > m, τότε από την (1)
\displaystyle{p^m\mid k(b+c) = c\ell + m \implies p^m \mid m \implies p^m\leq m}
που είναι προφανώς άτοπο και το πρώτο ερώτημα έπεται.

Τώρα από την (1) πάλι:
\displaystyle{b\mid k(b+c) = c\ell +m \implies b\mid m \quad \blacksquare .}

Edit: Μάλλον η περίπτωση a=b=c=1 πρέπει να παρθεί ξεχωριστά, αλλά δεν αλλάζει κάτι.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 839
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μεγάλοι

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Φεβ 16, 2021 10:43 pm

ΘΕΜΑ 4
Σε μια ακολουθία θετικών ακεραίων, ονομάζουμε αντιστροφή ένας ζεύγος θέσεων για το οποίο ο όρος που βρίσκεται στα αριστερά είναι μεγαλύτερος από τον όρο στα δεξιά.
Για παράδειγμα, η ακολουθία 2,5,3,1,3 έχει ακριβώς πέντε αντιστροφές.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός αντιστροφών που μπορεί να έχει μια ακολουθία θετικών ακεραίων με άθροισμα 2014;
Νομίζω το έβγαλα....
Θα αποδείξω γενικότερα ότι για ακολουθία θετικών ακεραίων με άθροισμα n\in \mathbb{N^{*}} ο μέγιστος αριθμός αντιστροφών είναι ο \lfloor \dfrac{n^2}{8} \rfloor.Έτσι για n=2014 το αποτέλεσμα είναι 507024 και μπορεί να επιτευχθεί ως εξής : \underset{504}{\underbrace{2,2,2,...,2,}}\underset{1006}{\underbrace{1,1,1...,1}}.
Έστω a_1,a_2,....,a_k ακολουθία θετικών ακεραίων με a_1+...+a_k=n,
αν υπάρχουν a_i,a_{i+1} με a_i<a_{i+1} θεωρώ την ακολουθία a_1,a_2,..,a_{i-1},a_{i+1},a_{i},a_{i+2},...,a_{k} η οποία έχει μία επιπλέον αντιστροφή από την αρχική.
Θεωρώ λοιπόν για να μεγιστοποιήσω τις αντιστροφές ότι a_1\geq a_2\geq....\geq a_k
Έστω τώρα ο a_i τέτοιος ώστε να είναι ο δεξιότερος όρος της ακολουθίας που να είναι \geq 3(αν υπάρχει) οπότε a_{i+1}\leq 2.
Θεωρώ την ακολουθία a_1,a_2,...,a_{i-1},a_{i}-1,a_{i+1},a_{i+2},...,a_{i+l},a_{i+l+1},...,a_{k},1 όπου το l ώστε a_{i+1}\geq a_{i+2}\geq ...\geq a_{i+l}\geq 2 αλλά a_{i+l+1}=a_{i+l+2}=...=1 (ενδέχεται l=0)
Από την αρχική τώρα, εξαφάνισα το πολύ l αντιστροφές, τις (a_i,a_{i+j}) με j=1,..,l και αυτό στην περίπτωση που a_i=3.
Αλλά επίσης δημιούργησα τις (a_j,1) με j=1,2,...,i+l και σαφώς i+l>l! .
Οπότε σε κάθε περίπτωση, είτε υπάρχει ο a_i είτε όχι μπορώ να τροποποιήσω την ακολουθία, χωρίς να μειώσω τον αριθμό των αντιστροφών και έτσι ώστε να περιέχει μόνο άσσους και 2-άρια(και επίσης να φθίνει)
Αυτή θα έχει μορφή \underset{x}{\underbrace{2,2,2,...,2,}}\underset{y}{\underbrace{{1,1,...,1}}} με 2x+y=n και θέλω να μεγιστοποιήσω το xy που είναι ο αριθμός των αντιστροφών της.
Είναι xy=\dfrac{1}{2}(2x)y\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{2x+y}{2})^2=\dfrac{n^2}{8}
Οπότε το μέγιστο xy θα είναι το \lfloor \dfrac{n^2}{8} \rfloor.

Για n=2014 έδειξα μία κατασκευή οπότε τελειώσαμε, και γενικά για κάθε n πρέπει να είναι εφικτό αλλά δεν το κοίταξα.

edit: μιας και τελικά ασχολήθηκα, δείχνω επίσης ότι πάντα είναι εφικτή η κατασκευή.
Αρκεί να δείξω ότι το σύστημα 2x+y=n και xy=\lfloor \dfrac{n^2}{8} \rfloor έχει λύση στους φυσικούς.
Απαλείφοντας το y παίρνω 2x^2-xn+\lfloor \dfrac{n^2}{8} \rfloor
Η διακρίνουσα n^2-8\lfloor \dfrac{n^2}{8} \rfloor είναι πάντα τέλειο τετράγωνο, αυτό το βλέπουμε θέτοντας n=8k+l,0\leq l<8 οπότε βλέπουμε πως n^2-8\lfloor \dfrac{n^2}{8}\rfloor =l^2-8\lfloor \dfrac{l^2}{8}\rfloor και ελέγχουμε l=0,1,..,7
Μετά είναι απλό ότι πάντα υπάρχει ακέραια ρίζα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης