Αρχιμήδης 2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Αρχιμήδης 2020
Αύριο διεξάγεται ο διαγωνισμός " Αρχιμήδης 2020 ". Θέλω να ευχηθώ καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!
Υ.γ.1: τα θέματα θα τα ανεβάσω μετά το πέρας της εξέτασης δηλαδή περίπου στις 2. Όπως και τα προηγούμενα χρόνια επειδή θα είμαι στο χώρο διεξαγωγής θα τα ανεβάσω με το κινητό σε φωτογραφία.
Υ.γ.2: αν κάποιος θέλει παρέα ευχαρίστως να στείλει π.μ
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
Υ.γ.1: τα θέματα θα τα ανεβάσω μετά το πέρας της εξέτασης δηλαδή περίπου στις 2. Όπως και τα προηγούμενα χρόνια επειδή θα είμαι στο χώρο διεξαγωγής θα τα ανεβάσω με το κινητό σε φωτογραφία.
Υ.γ.2: αν κάποιος θέλει παρέα ευχαρίστως να στείλει π.μ
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αρχιμήδης 2020
Καλησπέρα και καλή επιτυχία σε όλους. Ο διαγωνισμός διαρκεί 3.5 ώρες από τη παράδοση των θεμάτων;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Αρχιμήδης 2020
Παραθέτω τα θέματα!! Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!!!
- Συνημμένα
-
- IMG_20200222_114223.jpg (1.45 MiB) Προβλήθηκε 8264 φορές
-
- IMG_20200222_114223.jpg (1.45 MiB) Προβλήθηκε 8264 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Τετ Φεβ 13, 2019 9:45 pm
Πρόβλημα 1 Μεγάλων
Θέτουμε P(x) πολυώνυμο βαθμού n και Q(x) πολυώνυμο βαθμού m. Παρατηρούμε πως είναι βαθμού 3m και πως είναι βαθμού 3mn. Άρα
Ακόμα
Άρα
Με πράξεις διαπιστώνουμε πως
Ακόμα
Άρα
Με πράξεις διαπιστώνουμε πως
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αρχιμήδης 2020
Πρόβλημα 1 μικρών
Η ανίσωση παίρνει τη μορφή
Η ισότητα για ή (Αργότερα πιο αναλυτικά, αν δεν το γράψει κάποιος άλλος).
Η ανίσωση παίρνει τη μορφή
Η ισότητα για ή (Αργότερα πιο αναλυτικά, αν δεν το γράψει κάποιος άλλος).
Re: Αρχιμήδης 2020
Πώς σας φάνηκαν τα θέματα των μικρών; Εγώ έλυσα το 4ο και το 3ο. Γεωμετρία κόλλησα και ούτε που την αγγιξα και άλγεβρα απλά έκανα πράξεις μέχρι που κατέληξα σε σημείο που δε μου έρχοταν η απλοποίηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 3:08 pm
Re: Αρχιμήδης 2020
Διορθώστε με αν έχω κάνει λάθος.
Για το τέταρτο των μικρών:
Θεωρούμε έναν "κακό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Θα κάνουμε την επόμενη κίνηση:
, ο οποίος είναι "καλός" χρωματισμός.
Θεωρούμε έναν "καλό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Κάνουμε την ίδια κίνηση και παίρνουμε:
, οποίος είναι "κακός" χρωματισμός, αφού το μπορεί να έχει το πολύ ίσο αριθμό κοκκίνων με το .
Θεωρούμε έναν χρωματισμό και ονομάζουμε την παραπάνω κίνηση .
Εύκολα βλέπουμε απο τις συνθήκες: .
Έπεται ότι ο αριθμός "καλών" χρωματισμών ισούται με τον αριθμό "κακών" χρωματισμών.
Αφού έχουμε συνολικούς χρωματισμούς, το πλήθος των "καλών" είναι .
Για το τέταρτο των μικρών:
Θεωρούμε έναν "κακό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Θα κάνουμε την επόμενη κίνηση:
, ο οποίος είναι "καλός" χρωματισμός.
Θεωρούμε έναν "καλό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Κάνουμε την ίδια κίνηση και παίρνουμε:
, οποίος είναι "κακός" χρωματισμός, αφού το μπορεί να έχει το πολύ ίσο αριθμό κοκκίνων με το .
Θεωρούμε έναν χρωματισμό και ονομάζουμε την παραπάνω κίνηση .
Εύκολα βλέπουμε απο τις συνθήκες: .
Έπεται ότι ο αριθμός "καλών" χρωματισμών ισούται με τον αριθμό "κακών" χρωματισμών.
Αφού έχουμε συνολικούς χρωματισμούς, το πλήθος των "καλών" είναι .
O acaso é um deus e um diabo ao mesmo tempo.
Je ne sais rien.
No es hipocresia, es elegancia.
Je ne sais rien.
No es hipocresia, es elegancia.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αρχιμήδης 2020
Για παρόμοιο με το των μεγάλων: https://artofproblemsolving.com/communi ... 4p13415923
Bye :')
Re: Αρχιμήδης 2020
Θέμα 3/Μεγάλων
Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται.
Για το (β)
Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς
(1) Το και το (ενδεχομένως ), ή
(2) Το και το 2030.
Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση
Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η
θα έχει ακέραιες λύσεις με άτοπο, αφού θα πρέπει κτλ, άτοπο.
Η περίπτωση (2) δεν μπορεί να ισχύει επίσης αφού oύτε ούτε το 10 είναι δύναμη της μορφής
Ομοίως για το 1ο υποερώτημα, δεν γίνεται διότι τότε
(1) η εξίσωση
Θα είχε λύσεις, άτοπο, αφού το αριστερό μέλος διαιρείται με το 8, αλλά το δεξί μέλος όχι.
(2) Επίσης, δεν γίνεται, αφού ούτε το 4050 ούτε το 9 είναι της μορφής .
( γράφω περιληπτικά από κινητό)
Φιλικά,
Αχιλλέας
Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται.
Για το (β)
Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς
(1) Το και το (ενδεχομένως ), ή
(2) Το και το 2030.
Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση
Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η
θα έχει ακέραιες λύσεις με άτοπο, αφού θα πρέπει κτλ, άτοπο.
Η περίπτωση (2) δεν μπορεί να ισχύει επίσης αφού oύτε ούτε το 10 είναι δύναμη της μορφής
Ομοίως για το 1ο υποερώτημα, δεν γίνεται διότι τότε
(1) η εξίσωση
Θα είχε λύσεις, άτοπο, αφού το αριστερό μέλος διαιρείται με το 8, αλλά το δεξί μέλος όχι.
(2) Επίσης, δεν γίνεται, αφού ούτε το 4050 ούτε το 9 είναι της μορφής .
( γράφω περιληπτικά από κινητό)
Φιλικά,
Αχιλλέας
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αρχιμήδης 2020
Για το 3 το μικρών η λύση μου:
Η δοσμένη γίνεται
Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:
Η δοσμένη γίνεται
Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:
Τότε πρέπει με την ισότητα μόνο για
Έστω χωρίς βλάβη πως
Πρέπει .Αν τότε άτοπο.
Προφανώς δεν μπορεί γιατί τότε που δίνει άτοπο στην αρχική (για ).
Άρα .Οπότε
Αν όμως τότε άτοπο.Άρα πρέπει που επαληθεύει και την αρχική.
Πρέπει
i)Αν και τότε άτοπο.Άρα πρέπει .Τότε για εύκολα άτοπο.Η περίπτωση απορρίπτεται αφού δεν επαληθεύει την αρχική.
ii) Αν και τότε
Άρα .Για εύκολα άτοπο και εύκολα ελέγχουμε ότι μοναδική λύση η .
iii) Αν , για πρέπει εύκολα άτοπο και για προκύπτει πάλι άτοπο.
iv) Αν τότε άτοπο από την αρχική.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Αρχιμήδης 2020
Πρόβλημα 2 (Μεγάλων)
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα , και είναι όμοια ισοσκελή (τα δυο τελευταία και ίσα), οπότε (όπου το μέσο του τμήματος ) και εφόσον , τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα έχουμε και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο .
Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη από το προς την . Παρατηρούμε ότι και . Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Επίσης εύκολα μπορούμε να δούμε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η είναι κάθετη στην . Πράγματι, έστω το σημείο τομής της με την , τότε θα έχουμε . Επομένως .
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα , και είναι όμοια ισοσκελή (τα δυο τελευταία και ίσα), οπότε (όπου το μέσο του τμήματος ) και εφόσον , τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα έχουμε και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο .
Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη από το προς την . Παρατηρούμε ότι και . Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Επίσης εύκολα μπορούμε να δούμε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η είναι κάθετη στην . Πράγματι, έστω το σημείο τομής της με την , τότε θα έχουμε . Επομένως .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Φεβ 23, 2020 1:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Αρχιμήδης 2020
Επειδή είμαι καινούργια στον χώρο... Βλέπω στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ τα ονόματα για τη βράβευση των παιδιών του Ευκλείδη, και βλέπω πολύ συγκεκριμένη γεωγραφική κατανομή (Αθήνα, Ηγουμενίτσα, Πρέβεζα) για όλες τις τάξεις. Είναι τυχαίο;
ΥΓ Τώρα που το ξαναείδα, είδα ότι μου είχε ξεφύγει και ένα Ρέθυμνο, μια Δράμα και ένα Καρπενήσι. Αλλά και πάλι, μου φαίνεται πολύ περιορισμένο γεωγραφικά...
ΥΓ Τώρα που το ξαναείδα, είδα ότι μου είχε ξεφύγει και ένα Ρέθυμνο, μια Δράμα και ένα Καρπενήσι. Αλλά και πάλι, μου φαίνεται πολύ περιορισμένο γεωγραφικά...
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Αρχιμήδης 2020
Οι βραβεύσεις αφορούν δυστυχώς μόνο τα παιδιά της Αττικής και των περιοχών που δεν έχουν ενεργό παράρτημα.
Re: Αρχιμήδης 2020
Τα αποτελέσματα έχουν αναρτηθεί! Συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες και φυσικά σε όλους για τη συμμετοχή!
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες