Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
1. Ο Πέτρος και ο Μιχάλης ξεκινούν από ένα σημείο κυκλικής διαδρομής με κατεύθυνση αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Και οι δυο τρέχουν με σταθερές ταχύτητες, η ταχύτητα του Μιχάλη είναι κατά % μεγαλύτερη του Πέτρου. Ο Πέτρος όλη την ώρα τρέχει αντίθετα με την φορά των δεικτών του ρολογιού, αλλά ο Μιχάλης μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση του τρεξίματος σε οποιαδήποτε στιγμή, αμέσως μετά από όταν έχει τρέξει ένα ημικύκλιο ή περισσότερο προς την μια κατεύθυνση. Να δείξετε, ότι ενόσω ο Πέτρος τρέχει τον πρώτο γύρο, ο Μιχάλης μπορεί να "εξισωθεί" (να συναντηθεί ή να τον φτάσει) μαζί του τρεις φορές, μη υπολογίζοντας την αρχική στιγμή.
2. Ο πράσινος χαμαιλέοντας λέει πάντα την αλήθεια και ο καφέ χαμαιλέοντας ψεύδεται και μετά από αυτό κατευθείαν πρασινίζει. Σε μια ομάδα χαμαιλεόντων (πράσινων και καφέ) ο καθένας με την σειρά απάντησε στην ερώτηση, πόσοι μεταξύ αυτών τώρα είναι πράσινοι. Απαντήσεις ήταν οι αριθμοί (με κάποια σειρά, εξάλλου όχι απαραίτητα με την υποδειχθείσα). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων χαμαιλεόντων που θα μπορούσαν να υπάρχουν αρχικά;
3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Προέκυψε ότι το σημείο , συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , να βρίσκεται επί της πλευράς και να μην συμπίπτει με τα άκρα της. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η γωνία ;
4. Θα ονομάσουμε ένα πολύγωνο καλό αν σε αυτό βρεθεί ζεύγος παράλληλων πλευρών. Ένα κανονικό πολύγωνο διαμερίστηκε με μη τεμνόμενες (σε εσωτερικά σημεία) διαγώνιούς του σε κάμποσα πολύγωνα έτσι, ώστε όλα αυτά τα πολύγωνα να έχουν τον ίδιο περιττό αριθμό πλευρών. Μπορεί άραγε να προκύψει, ότι μεταξύ αυτών των πολυγώνων υπάρχει τουλάχιστον ένα καλό;
5. Να αποδείξετε, ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς ισχύει η ανισότητα
.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
1. Ο Πέτρος και ο Μιχάλης ξεκινούν από ένα σημείο κυκλικής διαδρομής με κατεύθυνση αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Και οι δυο τρέχουν με σταθερές ταχύτητες, η ταχύτητα του Μιχάλη είναι κατά % μεγαλύτερη του Πέτρου. Ο Πέτρος όλη την ώρα τρέχει αντίθετα με την φορά των δεικτών του ρολογιού, αλλά ο Μιχάλης μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση του τρεξίματος σε οποιαδήποτε στιγμή, αμέσως μετά από όταν έχει τρέξει ένα ημικύκλιο ή περισσότερο προς την μια κατεύθυνση. Να δείξετε, ότι ενόσω ο Πέτρος τρέχει τον πρώτο γύρο, ο Μιχάλης μπορεί να "εξισωθεί" (να συναντηθεί ή να τον φτάσει) μαζί του τρεις φορές, μη υπολογίζοντας την αρχική στιγμή.
2. Ο πράσινος χαμαιλέοντας λέει πάντα την αλήθεια και ο καφέ χαμαιλέοντας ψεύδεται και μετά από αυτό κατευθείαν πρασινίζει. Σε μια ομάδα χαμαιλεόντων (πράσινων και καφέ) ο καθένας με την σειρά απάντησε στην ερώτηση, πόσοι μεταξύ αυτών τώρα είναι πράσινοι. Απαντήσεις ήταν οι αριθμοί (με κάποια σειρά, εξάλλου όχι απαραίτητα με την υποδειχθείσα). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων χαμαιλεόντων που θα μπορούσαν να υπάρχουν αρχικά;
3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Προέκυψε ότι το σημείο , συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , να βρίσκεται επί της πλευράς και να μην συμπίπτει με τα άκρα της. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η γωνία ;
4. Θα ονομάσουμε ένα πολύγωνο καλό αν σε αυτό βρεθεί ζεύγος παράλληλων πλευρών. Ένα κανονικό πολύγωνο διαμερίστηκε με μη τεμνόμενες (σε εσωτερικά σημεία) διαγώνιούς του σε κάμποσα πολύγωνα έτσι, ώστε όλα αυτά τα πολύγωνα να έχουν τον ίδιο περιττό αριθμό πλευρών. Μπορεί άραγε να προκύψει, ότι μεταξύ αυτών των πολυγώνων υπάρχει τουλάχιστον ένα καλό;
5. Να αποδείξετε, ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς ισχύει η ανισότητα
.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 07, 2020 11:27 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
1. Ο Πέτρος και ο Μιχάλης ξεκινούν από ένα σημείο κυκλικής διαδρομής με κατεύθυνση αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Και οι δυο τρέχουν με σταθερές ταχύτητες, η ταχύτητα του Μιχάλη είναι κατά % μεγαλύτερη του Πέτρου. Ο Πέτρος όλη την ώρα τρέχει αντίθετα με την φορά των δεικτών του ρολογιού, αλλά ο Μιχάλης μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση του τρεξίματος σε οποιαδήποτε στιγμή, αμέσως μετά από όταν έχει τρέξει ένα ημικύκλιο ή περισσότερο προς την μια κατεύθυνση. Να δείξετε, ότι ενόσω ο Πέτρος τρέχει τον πρώτο γύρο, ο Μιχάλης μπορεί να "εξισωθεί" (να συναντηθεί ή να τον φτάσει) μαζί του τρεις φορές, μη υπολογίζοντας την αρχική στιγμή.
Έστω το σημείο εκκίνησης και το αντιδιαμετρικό του.Επειδή τρέχουν στον ίδιο κύκλο διαιρώντας τις γραμμικές του ταχύτητες με την ακτίνα του κύκλου η δοσμένη σχέση γίνεται σχέση γωνιακών ταχυτήτων και έστω χωρίς βλάβη ότι οι ταχύτητες σε μοίρες/sec είναι
Αρχικά ο Μιχάλης κινείται από το στο (αντίθετα από το ρολόι) σε χρόνο και ο Πέτρος έχει διαγράψει τόξο .Εκείνη την στιγμή ο Μιχάλης αλλάζει φορά και κινείται προς το ,ενώ στην πορεία συναντά τον Μιχάλη για πρώτη φορά.
Την στιγμή που ο Πέτρος φτάνει στο ο Μιχάλης έχει διανύσει άλλες οπότε συνολικά (έστω ότι βρίσκεται στο )
Ο Μιχάλης δεν αλλάζει φορά αλλά συνεχίζει να κινείται προς τον Πέτρο,οπότε τώρα έχει το δικαίωμα να αλλάξει φορά όποτε θέλει.Η συνάντηση τους θα γίνει στο μικρό τόξο πιο κοντά στο και θα είναι η δεύτερή τους (έστω το σημείο συνάντησης).Επειδή όμως ο Μιχάλης έχει χρόνο ώστε απειροελάχιστα μετά την συνάντηση να αλλάξει φορά και να ξανα-εξισωθεί με τον Μιχάλη πριν αυτός τερματίσει τον πρώτο γύρο.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 07, 2020 11:27 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Προέκυψε ότι το σημείο , συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , να βρίσκεται επί της πλευράς και να μην συμπίπτει με τα άκρα της. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η γωνία ;
Είναι, , και .
Οπότε, από 2 Ν. Ημιτόνων στα , είναι :
, και αφού από το εγγράψιμο , προκύπτει ότι ή .
Είναι τώρα, και .
Αν .
Αν . Τότε όμως, θα είναι , άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στην , οπότε το σημείο δεν ορίζεται.
Τελικά, είναι .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται : (1)Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 07, 2020 11:27 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
5. Να αποδείξετε, ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς ισχύει η ανισότητα
.
(αυτό το παρατηρούμε καθώς, και οι κυκλικές αυτής).
Από την Cauchy-Schwarz, ισχύει .
Οπότε, είναι και οι κυκλικές αυτής.
Συνεπώς,
, και η προς απόδειξη δείχθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 07, 2020 11:27 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
2. Ο πράσινος χαμαιλέοντας λέει πάντα την αλήθεια και ο καφέ χαμαιλέοντας ψεύδεται και μετά από αυτό κατευθείαν πρασινίζει. Σε μια ομάδα χαμαιλεόντων (πράσινων και καφέ) ο καθένας με την σειρά απάντησε στην ερώτηση, πόσοι μεταξύ αυτών τώρα είναι πράσινοι. Απαντήσεις ήταν οι αριθμοί (με κάποια σειρά, εξάλλου όχι απαραίτητα με την υποδειχθείσα). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων χαμαιλεόντων που θα μπορούσαν να υπάρχουν αρχικά;
Έστω οι αρχικά πράσινοι χαμαιλέοντες και έστω οι απαντήσεις τους με .Αυτό σημαίνει ότι απάντησε πρώτος ο μετά ο κλπ αφού για κάθε καφέ χαμαιλέοντα που απαντά ο αριθμός των πράσινων αυξάνει κατά . Έτσι ανάμεσα σε κάθε 2 πράσινους χαμαιλέοντες υπάρχει τουλάχιστον καφέ και έτσι
Η τιμή μπορεί να επιτευχθεί αν οι απαντήσεις είναι οι εξής : δηλαδή ξεκινάμε με πράσινο και τελειώνουμε σε πράσινο ενώ εναλλάξ υπάρχει και ένας καφέ (όλοι οι καφέ λένε ψέματα αφού )
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Φεβ 07, 2020 11:27 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2019/20.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη.
3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Προέκυψε ότι το σημείο , συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία , να βρίσκεται επί της πλευράς και να μην συμπίπτει με τα άκρα της. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η γωνία ;
Τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε και τα
είναι όμοια, άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες