ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλημέρα σε όλους,
Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!!
Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή μετά τις 12:30.
Αλέξανδρος
Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!!
Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή μετά τις 12:30.
Αλέξανδρος
- Συνημμένα
-
- Θέματα Ευκλείδη 18-1-2020.pdf
- (245.06 KiB) Μεταφορτώθηκε 820 φορές
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 4 Β' Λυκείου
Είναι απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα,
Αλλά, οπότε
που αποδεικνύει ότι τα είναι συνευθειακά.
άρα το είναι εγγράψιμο.
Είναι απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα,
Αλλά, οπότε
που αποδεικνύει ότι τα είναι συνευθειακά.
άρα το είναι εγγράψιμο.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 4 Γ' Γυμνασίου
α) ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο. Άρα
β) άρα το είναι εγγράψιμο και Επομένως το τρίγωνο
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές που αποδεικνύει το ζητούμενο.
α) ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο. Άρα
β) άρα το είναι εγγράψιμο και Επομένως το τρίγωνο
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Αφού , είναι
Έτσι,
Επίσης,
Η εξίσωση
έχει λύσεις ή .
Έχουμε τις περιπτώσεις
άτοπο, και
Τότε και
δεκτή. (Το σύστημα , έχει λύση αφού διακρίνουσα της είναι θετική). Άρα .
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Γνωρίζουμε ότι αν , τότε
που ισχύει με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο .
Από την παραπάνω ανισότητα, αφού , η δοθείσα ανισότητα (1) είναι ισοδύναμη με την
Ομοίως, η (2) είναι ισοδύναμη με
Έτσι
Συνεπώς, η προς απόδειξη ανισότητα γίνεται
που ισχύει, με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν .
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω
για κάποιους θετικούς ακέραιους . Η πρώτη μας παρατήρηση είναι ότι οι αριθμοί πρέπει να είναι περιττοί.
Έχουμε
οπότε
Συνεπώς, , οπότε οι δυνατές τιμές του ακεραίου είναι 1, 2 ή 3.
Αν , τότε , οπότε , δηλ. , άτοπο, αφού ο είναι ακέραιος.
Αν , τότε αφού οι αριθμοί πρέπει να είναι περιττοί, έχουμε και . Έτσι, βρίσκουμε εύκολα ότι , και .
Αν , τότε έχουμε τις υποπεριπτώσεις
1) και . Τότε , και , το οποίο επαληθεύει και την , αφού .
2) και . Τότε , και , , το οποίο επαληθεύει και την , αφού , που είναι πολλαπλάσιο του .
3) και . Τότε , και , το οποίο επαληθεύει και την , αφού .
Συνεπώς, οι λύσεις είναι , , και .
ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Το τρίγωνο προκύπτει από τη στροφή του περί του κατά κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (Εάν είναι η εικόνα του ως προς αυτή τη στροφή, θα πρέπει με , οπότε ). Συνεπώς, τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.
Αλλιώς, αφού ως πλευρές του τετραγώνου, ως γωνίες του τετραγώνου, και ως ακτίνες του κύκλου, από το κριτήριο υποτείνουσα και κάθετη, συμπεραίνουμε ότι τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.
Συνεπώς, , οπότε Επιπλέον, και , όπως πριν. Από ΠΓΠ, τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Συνεπώς, . Τέλος, το ύψος από την κορυφή στην έχει μήκος . Αφού ίσα τρίγωνα έχουν τα αντίστοιχα ύψης τους ίσα, είναι .
Σχόλιο: Μια άλλη ιδέα για να δείξουμε ότι , σε συνέχεια της στροφής, είναι η εξής:
Είναι, λοιπόν, , ίση με τη γωνία της στροφής. Αφού , η είναι διχοτόμος της , κι άρα η είναι μεσοκάθετος της βάσης του ισοσκελούς . Συνεπώς, .
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού και προσθήκη σχολίου. Δείτε κι εδώ.
Αφού , είναι
Έτσι,
Επίσης,
Η εξίσωση
έχει λύσεις ή .
Έχουμε τις περιπτώσεις
άτοπο, και
Τότε και
δεκτή. (Το σύστημα , έχει λύση αφού διακρίνουσα της είναι θετική). Άρα .
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Γνωρίζουμε ότι αν , τότε
που ισχύει με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο .
Από την παραπάνω ανισότητα, αφού , η δοθείσα ανισότητα (1) είναι ισοδύναμη με την
Ομοίως, η (2) είναι ισοδύναμη με
Έτσι
Συνεπώς, η προς απόδειξη ανισότητα γίνεται
που ισχύει, με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν .
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω
για κάποιους θετικούς ακέραιους . Η πρώτη μας παρατήρηση είναι ότι οι αριθμοί πρέπει να είναι περιττοί.
Έχουμε
οπότε
Συνεπώς, , οπότε οι δυνατές τιμές του ακεραίου είναι 1, 2 ή 3.
Αν , τότε , οπότε , δηλ. , άτοπο, αφού ο είναι ακέραιος.
Αν , τότε αφού οι αριθμοί πρέπει να είναι περιττοί, έχουμε και . Έτσι, βρίσκουμε εύκολα ότι , και .
Αν , τότε έχουμε τις υποπεριπτώσεις
1) και . Τότε , και , το οποίο επαληθεύει και την , αφού .
2) και . Τότε , και , , το οποίο επαληθεύει και την , αφού , που είναι πολλαπλάσιο του .
3) και . Τότε , και , το οποίο επαληθεύει και την , αφού .
Συνεπώς, οι λύσεις είναι , , και .
ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Το τρίγωνο προκύπτει από τη στροφή του περί του κατά κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (Εάν είναι η εικόνα του ως προς αυτή τη στροφή, θα πρέπει με , οπότε ). Συνεπώς, τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.
Αλλιώς, αφού ως πλευρές του τετραγώνου, ως γωνίες του τετραγώνου, και ως ακτίνες του κύκλου, από το κριτήριο υποτείνουσα και κάθετη, συμπεραίνουμε ότι τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.
Συνεπώς, , οπότε Επιπλέον, και , όπως πριν. Από ΠΓΠ, τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Συνεπώς, . Τέλος, το ύψος από την κορυφή στην έχει μήκος . Αφού ίσα τρίγωνα έχουν τα αντίστοιχα ύψης τους ίσα, είναι .
Σχόλιο: Μια άλλη ιδέα για να δείξουμε ότι , σε συνέχεια της στροφής, είναι η εξής:
Είναι, λοιπόν, , ίση με τη γωνία της στροφής. Αφού , η είναι διχοτόμος της , κι άρα η είναι μεσοκάθετος της βάσης του ισοσκελούς . Συνεπώς, .
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού και προσθήκη σχολίου. Δείτε κι εδώ.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Κυρ Ιαν 19, 2020 10:48 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 1 Α' Λυκείου
και
και
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιαν 18, 2020 12:51 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 1 Γ' Γυμνασίου
και ομοίως
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνω και με αφαίρεση κατά μέλη:
κι επειδή θα είναι Άρα,
και ομοίως
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνω και με αφαίρεση κατά μέλη:
κι επειδή θα είναι Άρα,
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία στους μαθητές που την διεκδίκησαν.
Β Γυμνασίου 4ο Πρόβλημα
Έστω ο αρχικός αριθμός, όπου , ακέραιοι.
Τότε ,
δηλαδή .
Ο είναι πολλαπλάσιο του μόνο για ,
οπότε .
Ομοίως στο Γ Γυμνασίου 2ο Πρόβλημα
Έστω ο αρχικός αριθμός, όπου , ακέραιοι.
Τότε ,
δηλαδή .
Ο είναι πολλαπλάσιο του μόνο για ,
οπότε , άρα ο αριθμός είναι .
Γ Γυμνασίου 1ο Πρόβλημα
Είναι
, αφού
Οπότε
edit: Διορθώσεις λόγω προβλήματος στην εμφάνιση των συμβόλων σε LaTex.
Β Γυμνασίου 4ο Πρόβλημα
Έστω ο αρχικός αριθμός, όπου , ακέραιοι.
Τότε ,
δηλαδή .
Ο είναι πολλαπλάσιο του μόνο για ,
οπότε .
Ομοίως στο Γ Γυμνασίου 2ο Πρόβλημα
Έστω ο αρχικός αριθμός, όπου , ακέραιοι.
Τότε ,
δηλαδή .
Ο είναι πολλαπλάσιο του μόνο για ,
οπότε , άρα ο αριθμός είναι .
Γ Γυμνασίου 1ο Πρόβλημα
Είναι
, αφού
Οπότε
edit: Διορθώσεις λόγω προβλήματος στην εμφάνιση των συμβόλων σε LaTex.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Ιαν 18, 2020 1:21 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Βρε άνθρωποι,χαλαρά .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα)
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα)
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Tα θέματα έχουν ήδη αναρτηθεί στο internet και είναι γνωστά σε όλους τους διαγωνιζόμενους.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Στην αρχική δημοσίευση του Αλέξανδρου προστέθηκαν οι εκφωνήσεις των σημερινών θεμάτων του Ευκλείδη.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Προς αποφυγή παρεξηγήσεων, δεν υπάρχει ανάρτηση λύσεων πριν τις 12:30μμ, η οποία είναι η προθεσμία που τέθηκε στο πρώτο ποστ.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Γ γυμνασίου θέμα 3
Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες:
Έστω
Είναι άρα
και
Επειδή πρέπει δηλαδή .
Οπότε και εύκολα πρέπει
Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες:
Έστω
Είναι άρα
και
Επειδή πρέπει δηλαδή .
Οπότε και εύκολα πρέπει
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Σάβ Ιαν 18, 2020 1:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Αναφερόμουν στην παρούσα δημοσίευση. Όσο για τους διαγωνιζόμενους είναι προφανές ότι τα θέματα τους είναι γνωστά.
Φιλικά,
Περικλής
Παντούλας Περικλής
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Τα θέματα είναι ήδη γνωστά σε διάφορους ιστότοπους. Όποιος θέλει τα βρίσκει.
Δεν νομίζω ότι πρέπει να περιμένουμε μέχρι να βρει την ευκαιρία να τα ανεβάσει ο Αλέξανδρος.
Σεβαστήκαμε την προθεσμία που τέθηκε. Ας τεθεί άλλη...ας πούμε μετά τις 5 το απόγευμα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Έχετε δίκιο σε αυτά που λέτε. Απλά εγώ επέλεξα να ανοίξω το για να ενημερωθώ και έβλεπα λύσεις χωρίς εκφώνηση. Τίποτα παραπάνω και χωρίς καμία προέκταση σε αυτό που λέω.achilleas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 18, 2020 1:26 pmΤα θέματα είναι ήδη γνωστά σε διάφορους ιστότοπους. Όποιος θέλει τα βρίσκει.
Δεν νομίζω ότι πρέπει να περιμένουμε μέχρι να βρει την ευκαιρία να τα ανεβάσει ο Αλέξανδρος.
Σεβαστήκαμε την προθεσμία που τέθηκε. Ας τεθεί άλλη...ας πούμε μετά τις 5 το απόγευμα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Περικλής
Παντούλας Περικλής
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Οι ενδεικτικές λύσεις των σημερινών θεμάτων από την Ε.Μ.Ε.
- Συνημμένα
-
- Απαντήσεις του Διαγωνισμού Ευκλείδης 2020.pdf
- (689.4 KiB) Μεταφορτώθηκε 647 φορές
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Πρόβλημα
Η ακολουθία των μέσων όρων είναι κυρτή και κοίλη ταυτόχρονα και επομένως γραμμική
Αλλιώς η χαρακτηριστική εξίσωση είναι απ'όπου παίρνουμε πάλι
Άρα
( σταθερές) που μας δείχνει ότι η είναι αριθμητική πρόοδος.
Η ακολουθία των μέσων όρων είναι κυρτή και κοίλη ταυτόχρονα και επομένως γραμμική
Αλλιώς η χαρακτηριστική εξίσωση είναι απ'όπου παίρνουμε πάλι
Άρα
( σταθερές) που μας δείχνει ότι η είναι αριθμητική πρόοδος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 4 Γ' Λυκείου
Μόλις είδα ότι αναρτήθηκαν οι επίσημες λύσεις. Θα την διαβάσω κι αν η δική μου είναι διαφορετική, θα την γράψω αργότερα.
Μόλις είδα ότι αναρτήθηκαν οι επίσημες λύσεις. Θα την διαβάσω κι αν η δική μου είναι διαφορετική, θα την γράψω αργότερα.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Β' Λυκείου
Πρόβλημα 2
Δίνεται το πολυώνυμο:
.
(a) Να γράψετε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού το πολύ 2.
(β) Αν , , να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και τις τιμές για τις οποίες λαμβάνεται.
Λύση: (α)
Έστω, βοηθητικά, για κάποιο . Το γράφεται διαδοχικά
Αντικαθιστούμε πίσω το στην παραπάνω σχέση και έχουμε
Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό στο τελευταίο γινόμενο παρατηρούμε ότι όντως μας δίνει το αρχικό πολυώνυμο. Στην παραπάνω διαδικασία θεωρήθηκε γνωστό, το πως παραγοντοποιείται άθροισμα τέταρτων δυνάμεων.
β) εφόσον έχουμε
Όπου χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για τους αριθμούς και αντίστοιχα. Με την ισότητα να ισχύει όταν και εφόσον , για .
Πρόβλημα 2
Δίνεται το πολυώνυμο:
.
(a) Να γράψετε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού το πολύ 2.
(β) Αν , , να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και τις τιμές για τις οποίες λαμβάνεται.
Λύση: (α)
Έστω, βοηθητικά, για κάποιο . Το γράφεται διαδοχικά
Αντικαθιστούμε πίσω το στην παραπάνω σχέση και έχουμε
Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό στο τελευταίο γινόμενο παρατηρούμε ότι όντως μας δίνει το αρχικό πολυώνυμο. Στην παραπάνω διαδικασία θεωρήθηκε γνωστό, το πως παραγοντοποιείται άθροισμα τέταρτων δυνάμεων.
β) εφόσον έχουμε
Όπου χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για τους αριθμούς και αντίστοιχα. Με την ισότητα να ισχύει όταν και εφόσον , για .
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Ιαν 18, 2020 7:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες