ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2709
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιαν 21, 2020 8:50 pm

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την Q(x^2)=Q(x)^2 (*) όπου

Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n με a_0\ne 0, n\geq 1.

Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond, των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως εξής:

Εάν Q(x)=x^kR(x), τότε x^{2k}R(x^2)=Q(x^2)=Q(x)^2=x^{2k}R(x)^2, οπότε R(x^2)=R(x)^2.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι a_n=Q(0)\ne 0. Τότε αφού Q(0)=Q(0)^2, είναι a_n=1.

Παραγωγίζοντας την (*) παίρνουμε

2xQ'(x^2)=2Q(x)Q'(x),

η οποία με x=0 δίνει Q(0)Q'(0)=0, δηλ. a_{n-1}=Q'(0)=0.

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, παραγωγίζοντας και θέτοντας x=0 παίρνουμε a_{n-2}=...=a_2=a_1=a_0=0, άτοπο, αφού a_0\ne 0.

Συνεπώς, η γενική λύση είναι Q(x)=x^n.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 21, 2020 9:12 pm

achilleas έγραψε:
Τρί Ιαν 21, 2020 8:50 pm
ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την Q(x^2)=Q(x)^2 (*) όπου

Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n με a_0\ne 0, n\geq 1.

Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond, των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως εξής:

Εάν Q(x)=x^kR(x), τότε x^{2k}R(x^2)=Q(x^2)=Q(x)^2=x^{2k}R(x)^2, οπότε R(x^2)=R(x)^2.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι a_n=Q(0)\ne 0. Τότε αφού Q(0)=Q(0)^2, είναι a_n=1.

Παραγωγίζοντας την (*) παίρνουμε

2xQ'(x^2)=2Q(x)Q'(x),

η οποία με x=0 δίνει Q(0)Q'(0)=0, δηλ. a_{n-1}=Q'(0)=0.

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, παραγωγίζοντας και θέτοντας x=0 παίρνουμε a_{n-2}=...=a_2=a_1=a_0=0, άτοπο, αφού a_0\ne 0.

Συνεπώς, η γενική λύση είναι Q(x)=x^n.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Για να δούμε ένα διαφορετικό τελείωμα της λύσης του Αχιλλέα χωρίς να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους.

Αφου ο σταθερός όρος του πολυώνυμου είναι 1 θα έχουμε ότι

Q(x)=1+x^{k}g(x),k\geq 1,g(0)\neq 0
Η σχέση
Q(x^2)=Q(x)^2
γίνεται
1+2x^{k}g(x)+x^{2k}g^{2}(x)=1+x^{2k}g(x^{2})
δηλαδή
2x^{k}g(x)+x^{2k}g^{2}(x)=x^{2k}g(x^{2})\Rightarrow 2g(x)+x^{k}g^{2}(x)=x^{k}g(x^{2})
Από την τελευταία παίρνουμε g(0)=0
ΑΤΟΠΟ.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2709
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιαν 21, 2020 9:41 pm

Ακόμα μια λύση για το

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

παίρνοντας την ιδέα από το παράδειγμα 16.1, σελ. 197 του Topics in Functional Equations, των T. Andreescu, et. al.

(Για τις άλλες λύσεις δείτε εδώ, εδώ, και τις δύο πιο πάνω εδώ κι εδώ.)

****************************

Λύση: Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την Q(x^2)=Q(x)^2 (*) όπου

Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n με a_0\ne 0, n\geq 1.

Παρατηρούμε ότι Q(2^{2^k})=Q(2)^{2^k} για κάθε k\geq 0.

Είναι

\displaystyle  
a_0=\lim_{x\to \infty}\frac{Q(x)}{x^n},

οπότε έχουμε

\displaystyle  
a_0=\lim_{k\to \infty}\frac{Q(2^{2^k})}{(2^{2^k})^n}=\lim_{k\to \infty}\left( \frac{Q(2)}{2^n}\right)^{2^k}

Αφού a_0\ne 0, πρέπει να είναι \dfrac{Q(2)}{2^n}=1-1). Έτσι, Q(2)= 2^n-2^n), και Q(2^{2^k})=(2^n)^{2^k}=\left(2^{2^k}\right)^n για κάθε k\geq 1.


Δηλαδή, Q(x)=x^n για καθε x=2^{2^k}, με k\ge 1. Συνεπώς, Q(x)=x^n για κάθε x\in \mathbb{R}.


Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2709
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Ιαν 22, 2020 2:03 pm

ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι η διακεντρική ευθεία CO είναι κάθετη στην κοινή χορδή AD των κύκλων (c) και (c_3). Άρα η A\widehat{D}C είναι συμπληρωματική της O\widehat{C}D.

Ομοίως, η διακεντρική ευθεία DO είναι κάθετη στην κοινή χορδή EC των κύκλων (c) και (c_2). Άρα η E\widehat{C}D είναι συμπληρωματική της O\widehat{D}C.

Από το ισοσκελές τρίγωνο DOC είναι O\widehat{C}D=O\widehat{D}C. Έτσι, A\widehat{D}C=E\widehat{C}D, ως συμπληρωματικές ίσων γωνιών.

Συνεπώς, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ADCE είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε DE=CA=AB.

Ίσες χορδές αντιστοιχούν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Έτσι, A\widehat{E}B=D\widehat{B}E, οπότε το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ADBE είναι ισοσκελές τραπέζιο, κι άρα DA//BE.

Αλλά B\widehat{O}C=2B\widehat{A}C=90^\circ, δηλ BO\perp CO που σημαίνει ότι BO//DA.

Άρα, BO//BE, δηλ. τα σημεία B,O,E είναι συνευθειακά.

Επίσης, το ECB είναι ισοσκελές ορθογώνιο, οπότε A\widehat{C}D=E\widehat{D}C=E\widehat{B}C=45^\circ.

Αφού το BAC είναι ισοσκελές, η AO διχοτομεί την Z\widehat{A}C. Ομοίως, η CO διχοτομεί την A\widehat{C}D=E\widehat{D}C=45^\circ.

Έτσι, το O είναι το έγκεντρο του τριγώνου AZC, οπότε O\widehat{Z}C=A\widehat{Z}C/2=45^\circ=E\widehat{D}C, απ' όπου έπεται ότι ZO//DE.
Συνημμένα
sxima_B_euclid_2020.png
sxima_B_euclid_2020.png (36.27 KiB) Προβλήθηκε 1175 φορές


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Κυρ Ιαν 26, 2020 11:29 pm

Ενα συμπέρασμα που προέκυψε από το μάθημα στο Όμιλο Μαθηματικών διαγωνισμών του Π.Σ.Π.Θ.
Για το Θέμα 4 Γεωμετρίας Α Λυκείου.

Το πρόβλημα γενικεύεται για κάθε γωνία \angle DAE < 45^{o}.

Επίσης, είχε ενδιαφέρον ο υπολογισμός του ύψος AH χωρίς τη χρήση του κύκλου (A, AE).
Αυτό πραγματοποιείθηκε μέσω της Τριγωνομετρία και τη χρήση του τύπου tan(a+b)= \frac{tana + tanb}{1-tana\cdot tanb}
με δεδομένο ότι tan45 =1. Αποδεικνύεται ότι AH = a.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Φεβ 02, 2020 4:01 pm

Μια πρόταση στην ΕΜΕ...Θα μπορούσατε να δίνετε τις λύσεις όλων των διαγωνισμών κάθε έτους (η ανά 2-3 έτη) σε ένα ηλεκτρονικό τεύχος με ένα μικρό τίμημα με σκοπό την ενίσχυση των οικονομικών της Εταιρείας.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 580
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Φεβ 02, 2020 7:18 pm

@bove Είναι ήδη συγκεντρωμένες online από μαθηματικούς


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1019
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Φεβ 03, 2020 10:07 am

JimNt. έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 7:18 pm
@bove Είναι ήδη συγκεντρωμένες online από μαθηματικούς
Θα σημφωνήσω με τον mick7. Σημαντικό ότι τα έχουν συγκεντρωμένα οι μαθηματικοί, όμως έχει το βάρος του και αν αυτό γίνεται πιο κεντροποιημένα θεσμικά. Υπάρχουν βιβλία θα μπορούσε να πει κάποιος, σωστό, αλλά αυτά δεν εκδίδονται κάθε χρόνο. Προσωπικά θα έτεινα προς μια ετήσια συγκέντρωση των θεμάτων με λύσεις, εμπλουτισμένοι με ένα δυο άρθρα γενικεύσεις κάποιον θεμάτων, θεωρία που βασίζεται κάποιο πρόβλημα, πως δημιουργήθηκε το πρόβλημα κτλ. Η έκδοση να είναι ηλεκτρονική με ένα τυπικό αντίτιμο της τάξης των 1-2 ευρώ (δωρεάν ιδανικά).


xristos.t
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 11, 2018 6:24 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xristos.t » Παρ Φεβ 07, 2020 8:53 pm

Γεια σας ,
Μήπως ξέρει κανείς πότε θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα του Ευκλείδη ;
Πάω να πεθάνω από την αγωνία.
Δεν μπορώ να ζω άλλο στην άγνοια .


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2709
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Φεβ 12, 2020 9:18 pm

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ! :)

Φιλικά,

Αχιλλέας


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 378
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Φεβ 13, 2020 12:25 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!! Τα λέμε στον Αρχιμήδη :D


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6937
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 13, 2020 2:08 am

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές που διακρίθηκαν και στο δεύτερη φάση του Διαγωνισμού της Ε.Μ.Ε. ( "Ευκλείδης" ).

Καλή συνέχεια στον "Αρχιμήδη" . Να τους χαίρονται οι γονείς και οι καθηγητές τους .


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5383
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 13, 2020 7:38 am

ΑΚΥΡΟ.Το ανάρτησα και παρακάτω, αλλά δεν βλέπω το εικονίδιο διαγραφής.
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Πέμ Φεβ 13, 2020 11:59 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5383
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 13, 2020 7:39 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 7:38 am
Συγχαρητήρια !

Και από Δευτέρα ελπίζω να έχουμε και καμιά ευχάριστη είδηση για όσους αγαπάνε τους διαγωνισμούς !

Καλή Επιτυχία στον Αρχιμήδη !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 13, 2020 10:56 am

Συγχαρητήρια σε όσους συμμετείχαν στο διαγωνισμό και

Καλή συνέχεια στους επιτυχόντες!


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5383
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 13, 2020 11:48 am

mick7 έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 4:01 pm
Μια πρόταση στην ΕΜΕ...Θα μπορούσατε να δίνετε τις λύσεις όλων των διαγωνισμών κάθε έτους (η ανά 2-3 έτη) σε ένα ηλεκτρονικό τεύχος με ένα μικρό τίμημα με σκοπό την ενίσχυση των οικονομικών της Εταιρείας.
Καλημέρα !

Έχω εδώ και δύο χρόνια προτείνει κάτι ανάλογο :
α) Η ΕΜΕ να μην αναρτά λύσεις σε κανέναν διαγωνισμό.

β) Στο συνέδριο κάθε έτους (αρχές Νοεμβρίου) να διατίθεται ένα βιβλίο ολοκληρωμένο, το

ΔΕΛΤΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ και ΘΕΜΑΤΩΝ,

με θέματα και λύσεις όλων των διαγωνισμών του προηγούμενου έτους :

ΘΑΛΗΣ-ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ-ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ-ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ- ΙΜΟ

Στο δελτίο να υπάρχουν όχι μόνο οι επίσημες λύσεις, αλλά και λύσεις μαθητών ή ενδεχομένως και άλλων που έχουν στείλει τις λύσεις τους στην ΕΜΕ

Ένα τέτοιο βιβλίο είμαι σίγουρος ότι :

(Α) Θα το θέλουν όλοι μα όλοι οι μαθηματικοί και μάλιστα για κάθε έτος.

(Β) Θα το παίρνουν όλοι οι μαθητές που θέλουν να δώσουν ΘΑΛΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΗ κλπ

(Γ) Θα βοηθήσει την ΕΜΕ να έχει ένα καλό εισόδημα για τις τρέχουσες ανάγκες της.

Αλλά η ΕΜΕ κινείται με πολύ αργούς ρυθμούς και είναι κρίμα.Μακάρι να αλλάξει τακτική.

Σας χαιρετώ


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 378
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Φεβ 13, 2020 2:42 pm

Πρόσφατα ο Achilleas σε μια συζήτηση που είχαμε είπε "αχ... πόσες διαφορετικές λύσεις χάθηκαν γιατί κανείς δεν έκατσε να τις συγκεντρώσει". Και σκέφτηκα πόσο δίκιο έχει.... από τότε κρατάω όλες τις λύσεις που κάνουμε με τα παιδιά!!! Οπότε όπως είπε και ο κύριος Μπάμπης μια τέτοια κίνηση της Ε.Μ.Ε θα είχε θεωρώ μεγάλη απήχηση!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης