ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Καλημέρα σε όλους,
Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή μετά τις 12:30.
Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή μετά τις 12:30.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Αυτά είναι τα θέματα !
Βάλτε τις ωραίες και αναλυτικές σας λύσεις !
Καλά αποτελέσματα !!!
ΠΡΟΣΟΧΗ
Στο θέμα γεωμετρίας (2ο ΘΕΜΑ) της Γ Λυκείου έχει σταλεί διόρθωση.
Το σημείο Ε είναι στην ΒΓ και όχι στην ΑΓ.
Καλά αποτελέσματα !!!
Βάλτε τις ωραίες και αναλυτικές σας λύσεις !
Καλά αποτελέσματα !!!
ΠΡΟΣΟΧΗ
Στο θέμα γεωμετρίας (2ο ΘΕΜΑ) της Γ Λυκείου έχει σταλεί διόρθωση.
Το σημείο Ε είναι στην ΒΓ και όχι στην ΑΓ.
Καλά αποτελέσματα !!!
- Συνημμένα
-
- 2019_11_09_THEMATA_THALH.pdf
- (404.66 KiB) Μεταφορτώθηκε 685 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 533
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 3:29 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Καλά αποτελέσματα σε όλους!
Αναρτώ ένα αρχείο για το θέμα 3 Β Λυκείου στο Geogebra και ένα για το θέμα 2 της Γ Λυκείου
Αναρτώ ένα αρχείο για το θέμα 3 Β Λυκείου στο Geogebra και ένα για το θέμα 2 της Γ Λυκείου
- Συνημμένα
-
- Προβλημα2 Γ Λυκειου Θαλης 2019.ggb
- (20.14 KiB) Μεταφορτώθηκε 242 φορές
-
- Προβλημα 3 Β Λυκειου 2019 Θαλής.ggb
- (15.03 KiB) Μεταφορτώθηκε 244 φορές
τελευταία επεξεργασία από kostas.zig σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ζυγούρης Κώστας
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
*******************
ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Αφού είναι
Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε
Έτσι
και
*******************
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Παρατηρούμε ότι για έχουμε
που ισχύει. Συνεπώς,
και
Επιπλέον, για είναι
που ισχύει.
Συνεπώς,
και
Συνεπώς, το μικρότερο κλάσμα είναι το και το μεγαλύτερο το .
Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη).
Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση.
Συνεπώς, αρκεί να συγκρίνουμε τις αποστάσεις
Το αποτέλεσμα έπεται.
*******************
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
(α) Έχουμε , και (αφού ). Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι ίσα από ΠΓΠ.
(β) Από το (α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Αν , και , τότε . Στο τρίγωνο έχουμε
Αφού και , στο τρίγωνο έχουμε
Συνεπώς, απαλείφοντας το έχουμε
*******************
ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Για να ορίζεται η πρέπει .'Εχουμε
Η παράσταση είναι ακέραιος εάν ο αριθμητής έχει παράγοντα τον παρονομαστή .
Παρατηρούμε** ότι
,
οπότε
Έτσι, ο είναι ένας από τους διαιρέτες του : . Συνεπώς,
Σημείωση**: Εναλλακτικά, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι κάθε παράσταση της μορφής έχει παράγοντα το και ότι
-----------------------------------------
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικών λαθών.
ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Αφού είναι
Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε
Έτσι
και
*******************
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Παρατηρούμε ότι για έχουμε
που ισχύει. Συνεπώς,
και
Επιπλέον, για είναι
που ισχύει.
Συνεπώς,
και
Συνεπώς, το μικρότερο κλάσμα είναι το και το μεγαλύτερο το .
Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη).
Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση.
Συνεπώς, αρκεί να συγκρίνουμε τις αποστάσεις
Το αποτέλεσμα έπεται.
*******************
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
(α) Έχουμε , και (αφού ). Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι ίσα από ΠΓΠ.
(β) Από το (α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Αν , και , τότε . Στο τρίγωνο έχουμε
Αφού και , στο τρίγωνο έχουμε
Συνεπώς, απαλείφοντας το έχουμε
*******************
ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Για να ορίζεται η πρέπει .'Εχουμε
Η παράσταση είναι ακέραιος εάν ο αριθμητής έχει παράγοντα τον παρονομαστή .
Παρατηρούμε** ότι
,
οπότε
Έτσι, ο είναι ένας από τους διαιρέτες του : . Συνεπώς,
Σημείωση**: Εναλλακτικά, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι κάθε παράσταση της μορφής έχει παράγοντα το και ότι
-----------------------------------------
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικών λαθών.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:14 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
*******************
ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Παρατηρούμε ότι και
Αν , τότε , αδύνατη.
Αν , τότε , οπότε και ή και .
ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Παρατηρούμε ότι και
Αν , τότε , αδύνατη.
Αν , τότε , οπότε και ή και .
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
*******************
ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Αφού
παίρνουμε
κι άρα
Αφού
παίρνουμε
δηλ.
Αφού έπεται ότι
\]
Συνεπώς, από (*),
οπότε
ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Αφού
παίρνουμε
κι άρα
Αφού
παίρνουμε
δηλ.
Αφού έπεται ότι
\]
Συνεπώς, από (*),
οπότε
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία στους μαθητές που προσπάθησαν.
Άξιοι συγχαρητηρίων είναι οι δεκάδες μαθητές μας στην Κέρκυρα που προσήλθαν στο διαγωνισμό εν μέσω σφοδρής κακοκαιρίας......
*****************
ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης:
Είναι
Οπότε (τριπλή ρίζα)
ή (2)
Με σχήμα Horner η (2) γίνεται , οπότε οι υπόλοιπες ρίζες είναι διπλή ρίζα και .
*****************
ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα:
Από την (1) προκύπτει ότι . (1):
Αντικαθιστούμε στην (2):
Θέτουμε και η εξίσωση γίνεται
που έχει ρίζες και που απορρίπτεται.
Άρα .
edit 13:05 Πρόσθεσα το 3ο θέμα.
Άξιοι συγχαρητηρίων είναι οι δεκάδες μαθητές μας στην Κέρκυρα που προσήλθαν στο διαγωνισμό εν μέσω σφοδρής κακοκαιρίας......
*****************
ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης:
Είναι
Οπότε (τριπλή ρίζα)
ή (2)
Με σχήμα Horner η (2) γίνεται , οπότε οι υπόλοιπες ρίζες είναι διπλή ρίζα και .
*****************
ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα:
Από την (1) προκύπτει ότι . (1):
Αντικαθιστούμε στην (2):
Θέτουμε και η εξίσωση γίνεται
που έχει ρίζες και που απορρίπτεται.
Άρα .
edit 13:05 Πρόσθεσα το 3ο θέμα.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:58 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Γ Λυκείου 4
Θεωρώντας τους παρατηρούμε ότι αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To δουλεύει: για
Θεωρώντας τους παρατηρούμε ότι αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To δουλεύει: για
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Δευ Νοέμ 11, 2019 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Bye :')
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Θέμα 3 Β' Λυκείου
Η λύση μου:
Έστω το συμμετρικό του ως προ το . Είναι μέσα των , άρα . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι .
Είναι , δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, άρα , και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την γωνία : Έστω .
Eίναι τώρα .
Η λύση μου:
Έστω το συμμετρικό του ως προ το . Είναι μέσα των , άρα . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι .
Είναι , δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, άρα , και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την γωνία : Έστω .
Eίναι τώρα .
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Μπράβο Θεοδόση . Μου αρέσει ή λύση σου !!ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:30 pmΘέμα 3 Β' Λυκείου
Η λύση μου:
Έστω το συμμετρικό του ως προ το . Είναι μέσα των , άρα . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι .
Είναι , δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, άρα , και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την γωνία : Έστω .
Eίναι τώρα .
Β' Λυκείου Γεωμετρία.PNG
Edit: Έγινε η διόρθωση του ονόματος του νεαρού Φωτιάδη
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 2 γ' γυμνασίου
Έστω ότι απάντησε σε ερωτήσεις σωστά.Τότε σε θα απάντησε λανθασμένα.
Έχουμε λοιπόν
*Kύριε Νίκο η λύση είναι του Θεοδόση
**Μήπως θα έπρεπε η συζήτηση να βρίσκεται στον φάκελο των διαγωνισμών;
Έστω ότι απάντησε σε ερωτήσεις σωστά.Τότε σε θα απάντησε λανθασμένα.
Έχουμε λοιπόν
*Kύριε Νίκο η λύση είναι του Θεοδόση
**Μήπως θα έπρεπε η συζήτηση να βρίσκεται στον φάκελο των διαγωνισμών;
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Πρόβλημα 4 γ' γυμνασίου
α)Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα:
β) από το οποίο έπεται το ζητούμενο
γ) , όμοια άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο με
α)Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα:
β) από το οποίο έπεται το ζητούμενο
γ) , όμοια άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο με
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
*******************
ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Έστω οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε .
Από του τύπους Vieta, έχουμε
και .
Είναι
Συνεπώς, θέλουμε
που είναι ισοδύναμη με
με πραγματικές λύσεις
Από αυτές δεκτή γίνεται η με λύσεις , εφόσον θέλουμε η Β-θμια εξίσωση να έχει θετικές λύσεις.
(Η έχει μια θετική και μια αρνητική λύση.)
Φιλικά,
Αχιλλέας
ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
Έστω οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε .
Από του τύπους Vieta, έχουμε
και .
Είναι
Συνεπώς, θέλουμε
που είναι ισοδύναμη με
με πραγματικές λύσεις
Από αυτές δεκτή γίνεται η με λύσεις , εφόσον θέλουμε η Β-θμια εξίσωση να έχει θετικές λύσεις.
(Η έχει μια θετική και μια αρνητική λύση.)
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 23, 2019 2:41 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Για το 4ο θέμα της Α’ λυκείου :
Για να ορίζεται η Α θα πρέπει . Ισχύει :
Ισχύει πως το γράφεται ως :
άρα, η γράφεται ως :
Για να είναι η ακέραιος αριθμός πρέπει το να είναι ακέραιος, άρα το θα είναι διαιρέτης του 8, συνεπώς θα παίρνει τις τιμές από το σύνολο . Συνεπώς,
Για να ορίζεται η Α θα πρέπει . Ισχύει :
Ισχύει πως το γράφεται ως :
άρα, η γράφεται ως :
Για να είναι η ακέραιος αριθμός πρέπει το να είναι ακέραιος, άρα το θα είναι διαιρέτης του 8, συνεπώς θα παίρνει τις τιμές από το σύνολο . Συνεπώς,
τελευταία επεξεργασία από Marlena Panagiotakou σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 4:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Χαιρετώ όλους ! Συγχαρητήρια σε όσους προσπάθησαν και... δεν εγκαταλείπουν ! Για το πρόβλημα της Β Λυκείου
Αν το μέσον της τότε άρα παραλληλόγραμμο και .
Ακόμη ως παραπληρωματική της . Φιλικά , Γιώργος.
Ακόμη ως παραπληρωματική της . Φιλικά , Γιώργος.
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Στο 4ο της Β' Λυκείου πόσο λέτε να κόψουν αν δεν έχεις απορρίψει την Παραπάνω απο μονάδα;
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Να πάρει υπήρχε εύκολο construction. Εγώ αντιστοίχησα στον το -οστό χρώμα, όπου είναι το άθροισμα των εκθετών στην κανονική μορφή του . Εύκολα προκύπτει ότι , ενώ μπορούμε ακόμη να αποδείξουμε πως αν και , τότε , οπότε δεν έχουμε πρόβλημα.
Houston, we have a problem!
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
*******************
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
(α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία.
Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με και . (Θα μπορούσαμε να θέσουμε για ευκολία.)
Τότε είναι , και με .
Τότε το μέσο της είναι το και το μέσο της είναι .
Η κλίση της ευθείας είναι ενώ της είναι .
Το συμπέρασμα έπεται άμεσα αφού το γινόμενο των δύο κλίσεων είναι .
(β) Η παραπάνω κλίση της ευθείας , που ισούται με , μας δίνει άμεσα ότι η γωνία .
Αλλιώς, το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το γεγονός ότι τα σημεία και το σημείο τομής των και είναι ομοκυκλικά. Τότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επεξεργασία: Προσθήκη σχήματος.
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************
(α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία.
Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με και . (Θα μπορούσαμε να θέσουμε για ευκολία.)
Τότε είναι , και με .
Τότε το μέσο της είναι το και το μέσο της είναι .
Η κλίση της ευθείας είναι ενώ της είναι .
Το συμπέρασμα έπεται άμεσα αφού το γινόμενο των δύο κλίσεων είναι .
(β) Η παραπάνω κλίση της ευθείας , που ισούται με , μας δίνει άμεσα ότι η γωνία .
Αλλιώς, το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το γεγονός ότι τα σημεία και το σημείο τομής των και είναι ομοκυκλικά. Τότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Επεξεργασία: Προσθήκη σχήματος.
- Συνημμένα
-
- thales_B_3_2019.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 7297 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Στο θέμα 1 της Γ'Λυκείου αν κάποιος έφτανε στην σχέση:
Και από εκει έβρισκε:
Και μετά έγραφε ότι
αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν;
Και από εκει έβρισκε:
Και μετά έγραφε ότι
αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: andrei.eckstein και 15 επισκέπτες