ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 09, 2019 7:57 am

Καλημέρα σε όλους,

Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή μετά τις 12:30.


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:38 pm

Αυτά είναι τα θέματα !

Βάλτε τις ωραίες και αναλυτικές σας λύσεις !

Καλά αποτελέσματα !!!


ΠΡΟΣΟΧΗ

Στο θέμα γεωμετρίας (2ο ΘΕΜΑ) της Γ Λυκείου έχει σταλεί διόρθωση.

Το σημείο Ε είναι στην ΒΓ και όχι στην ΑΓ.

Καλά αποτελέσματα !!!
Συνημμένα
2019_11_09_THEMATA_THALH.pdf
(404.66 KiB) Μεταφορτώθηκε 527 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


kostas.zig
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 3:29 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas.zig » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:42 pm

Καλά αποτελέσματα σε όλους!

Αναρτώ ένα αρχείο για το θέμα 3 Β Λυκείου στο Geogebra και ένα για το θέμα 2 της Γ Λυκείου
Συνημμένα
Προβλημα2 Γ Λυκειου Θαλης 2019.ggb
(20.14 KiB) Μεταφορτώθηκε 166 φορές
Προβλημα 3 Β Λυκειου 2019 Θαλής.ggb
(15.03 KiB) Μεταφορτώθηκε 168 φορές
τελευταία επεξεργασία από kostas.zig σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ζυγούρης Κώστας
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:42 pm

*******************
ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Αφού \alpha,\beta>0 είναι

\displaystyle  
\alpha+\beta=7\iff (\alpha+\beta)^2=49\iff \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=49.

Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε

\displaystyle  
10(\alpha^2+\beta^2)+20\alpha\beta=490\iff 29\alpha\beta+20\alpha\beta=490\iff \alpha\beta=10

Έτσι

\displaystyle  
\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}

και

\displaystyle  
\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}=\frac{7^2-2\cdot 10}{10^2}=\frac{29}{100}.

*******************
ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Παρατηρούμε ότι για x>0 έχουμε

\displaystyle  
\frac{x}{x+1}<\frac{x+1}{x+2}\iff x(x+2)<(x+1)^2\iff x^2+2x<x^2+2x+1

που ισχύει. Συνεπώς,

\displaystyle  
\frac{3019}{3020}<\frac{3020}{3021}<\frac{3021}{3022},

και

\displaystyle  
\frac{4019}{4020}<\frac{4020}{4021}<\frac{4021}{4022}.

Επιπλέον, για x>0 είναι

\displaystyle  
\frac{x}{x+1}<\frac{x+1000}{x+1001}\iff  x(x+1001)<(x+1)(x+1000)\iff x^2+1001x<x^2+1001x+1000,

που ισχύει.

Συνεπώς,

\dfrac{3019}{3020}<\dfrac{4019}{4020} και \dfrac{3021}{3022}<\dfrac{4021}{4022}.

Συνεπώς, το μικρότερο κλάσμα είναι το \dfrac{3019}{3020} και το μεγαλύτερο το \dfrac{4021}{4022}.

Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη).

Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση.

Συνεπώς, αρκεί να συγκρίνουμε τις αποστάσεις
\displaystyle  
\frac{1}{3020},\frac{1}{3021},\frac{1}{3022}, \frac{1}{4020},\frac{1}{4021},\frac{1}{4022}.

Το αποτέλεσμα έπεται.

*******************
ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

(α) Έχουμε A\widehat{B}E=\widehat{\Gamma}, AB=\Gamma\Delta και BE=E\Gamma (αφού E\widehat{B}\Gamma=\widehat{\Gamma}). Συνεπώς τα τρίγωνα ABE και \Delta\Gamma E είναι ίσα από ΠΓΠ.

(β) Από το (α) το τρίγωνο AE\Delta είναι ισοσκελές με AE=\Delta E. Αν B\widehat{A}\Gamma=\phi, και \widehat{\Gamma}=\theta, τότε A\widehat{B}\Gamma=2\theta. Στο τρίγωνο AB\Gamma έχουμε

\displaystyle  
\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=180^\circ\iff \phi+2\theta+\theta=180^\circ\iff  \phi+3\theta=180^\circ.

Αφού E\Delta \Gamma=\widehat{A}=\phi και E\Delta A=E\widehat{A}\Delta=\phi/2 , στο τρίγωνο A\Delta\Gamma έχουμε

\displaystyle  
\Delta\widehat{A}\Gamma+A\widehat{\Delta}\Gamma+\widehat{\Gamma}=180^\circ\iff \phi/2+3\phi/2+\theta=180^\circ\iff  2\phi+\theta=180^\circ.

Συνεπώς, απαλείφοντας το \theta έχουμε

\displaystyle  
3 (2\phi+\theta)-( \phi+3\theta)=360^\circ\iff 5\phi=360^\circ\iff \phi=72^\circ.

*******************
ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Για να ορίζεται η A πρέπει a\ne 1.'Εχουμε

\displaystyle  
 A=\frac{(a-1)^3(a+1)^3}{(a-1)^4}=\frac{(a+1)^3}{a-1}=\frac{a^3+3a^2+3a+1}{a-1}

Η παράσταση A είναι ακέραιος εάν ο αριθμητής a^3+3a^2+3a+1 έχει παράγοντα τον παρονομαστή a-1.
Παρατηρούμε** ότι

\displaystyle  
a^3+3a^2+3a+1=(a-1)(a^2+4a+7)+8  
 ,

οπότε

\displaystyle  
 A=a^2+4a+7+\frac{8}{a-1}.

Έτσι, ο a-1 είναι ένας από τους διαιρέτες του 8: \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8. Συνεπώς,

\displaystyle  
 a=0,2, 3,-1,5,-3,9,-7.

Σημείωση**: Εναλλακτικά, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι κάθε παράσταση της μορφής a^k-1 έχει παράγοντα το a-1 και ότι

a^3+3a^2+3a+1=a^3-1+3(a^2-1)+3(a-1)+1+1+3+3=a^3-1+3(a^2-1)+3(a-1)+8.


-----------------------------------------
Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικών λαθών.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:14 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm

*******************
ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Παρατηρούμε ότι xy\ne 0 και

\displaystyle  
\begin{aligned} 
xy+y^2=2&\iff (xy)^2+xy^3=2xy\\\notag 
&\iff (xy)^2-2xy-8=0\\\notag 
&\iff (xy-4)(xy+2)=0.\notag 
\end{aligned}

Αν xy=4, τότε y^2=-2<0, αδύνατη.

Αν xy=-2, τότε y^2=4, οπότε y=2 και x=-1 ή y=-2 και x=1.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm

*******************
ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Αφού

\displaystyle  
\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16\alpha\beta,

παίρνουμε

\displaystyle  
(\alpha+\beta)^2=18\alpha\beta, (*)

κι άρα

\displaystyle  
(\alpha+\beta)^3=18\alpha\beta(\alpha+\beta).

Αφού

\displaystyle  
\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=90\alpha\beta,

παίρνουμε

 
15\alpha\beta(\alpha+\beta)=90\alpha\beta, δηλ.  
\alpha\beta(\alpha+\beta-6)=0.

Αφού \alpha,\beta>0 έπεται ότι \alpha+\beta=6.
\]

Συνεπώς, από (*),

\displaystyle  
6^2=18\alpha\beta\iff \alpha\beta=2,

οπότε

\displaystyle  
\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{6}{2}=3.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4427
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:58 pm

Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία στους μαθητές που προσπάθησαν.

Άξιοι συγχαρητηρίων είναι οι δεκάδες μαθητές μας στην Κέρκυρα που προσήλθαν στο διαγωνισμό εν μέσω σφοδρής κακοκαιρίας......

*****************
ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle 108{\left( {x - 2} \right)^4} + {\left( {4 - {x^2}} \right)^3} = 0


Είναι

 \displaystyle \begin{array}{l} 
108{\left( {x - 2} \right)^4} + {\left( {4 - {x^2}} \right)^3} = 0 &  &  \Leftrightarrow  
108{\left( {x - 2} \right)^4} - {\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x + 2} \right)^3} = 0 &  \Leftrightarrow  
{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {108\left( {x - 2} \right) - {{\left( {x + 2} \right)}^3}} \right) = 0 
\end{array}

Οπότε  \displaystyle {\left( {x - 2} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow x = 2\;\;\;\;\left( 1 \right) (τριπλή ρίζα)

ή  \displaystyle {x^3} + 6{x^2} - 96x + 224 = 0 (2)

Με σχήμα Horner η (2) γίνεται  \displaystyle {\left( {x - 4} \right)^2}\left( {x + 14} \right) = 0 , οπότε οι υπόλοιπες ρίζες είναι  \displaystyle x = 4 διπλή ρίζα και  \displaystyle x =  - 14 .


*****************
ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα:

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x{y^3} =  - 108\\ 
\left( {x + y} \right)y =  - 3 
\end{array} \right.

Από την (1) προκύπτει ότι  \displaystyle xy \ne 0 . (1):  \displaystyle x = \frac{{ - 108}}{{{y^3}}}

Αντικαθιστούμε στην (2):

 \displaystyle \left( {\frac{{ - 108}}{{{y^3}}} + y} \right)y =  - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - 108}}{{{y^2}}} + {y^2} =  - 3 \Leftrightarrow {y^4} + 3{y^2} - 108 = 0

Θέτουμε  \displaystyle {y^2} = k,\;\;k > 0 και η εξίσωση γίνεται

 \displaystyle {k^2} + 3k - 108 = 0 που έχει ρίζες k = 9 και  k=-12 που απορρίπτεται.

Άρα  \displaystyle y =  \pm 3 \Rightarrow x =  \mp 4 .

edit 13:05 Πρόσθεσα το 3ο θέμα.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:58 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 570
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:59 pm

Γ Λυκείου 4
Θεωρώντας τους 2^1,2^2,..,2^{10} παρατηρούμε ότι k\ge 10 αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά 2 θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To k=10 δουλεύει: C_i=(2^{i},2^{i+1}] για i=\{0,...,9\}
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Δευ Νοέμ 11, 2019 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 94
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:30 pm

Θέμα 3 Β' Λυκείου
Η λύση μου:
Έστω E' το συμμετρικό του E ως προ το Z. Είναι H,Z μέσα των AE,EE', άρα HZ\parallel AE'. Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι AE\perp AB.
Είναι A\Gamma =\dfrac{BE}{2}, δηλαδή το τρίγωνο ABE' είναι ορθογώνιο, άρα E'A\perp AB, και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την γωνία : Έστω N\equiv B\Gamma \cap ZH.
Eίναι τώρα \widehat{\Gamma ZH}=90^{\circ}-\widehat{ZN\Gamma }=90^{\circ}-\widehat{AE'\Gamma }=60^{\circ}.
Β' Λυκείου Γεωμετρία.PNG
Β' Λυκείου Γεωμετρία.PNG (28.49 KiB) Προβλήθηκε 2636 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:46 pm

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:30 pm
Θέμα 3 Β' Λυκείου
Η λύση μου:
Έστω E' το συμμετρικό του E ως προ το Z. Είναι H,Z μέσα των AE,EE', άρα HZ\parallel AE'. Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι AE\perp AB.
Είναι A\Gamma =\dfrac{BE}{2}, δηλαδή το τρίγωνο ABE' είναι ορθογώνιο, άρα E'A\perp AB, και το ζητούμενο δείχθηκε.
Για την γωνία : Έστω N\equiv B\Gamma \cap ZH.
Eίναι τώρα \widehat{\Gamma ZH}=90^{\circ}-\widehat{ZN\Gamma }=90^{\circ}-\widehat{AE'\Gamma }=60^{\circ}.
Β' Λυκείου Γεωμετρία.PNG
Μπράβο Θεοδόση . Μου αρέσει ή λύση σου !! :clap2:

Edit: Έγινε η διόρθωση του ονόματος του νεαρού Φωτιάδη
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:53 pm

Γεωμετρία Β'.png
Γεωμετρία Β'.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 2544 φορές
M , μέσο της BE ...


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Νοέμ 09, 2019 1:57 pm

Πρόβλημα 2 γ' γυμνασίου

Έστω ότι απάντησε σε x ερωτήσεις σωστά.Τότε σε 12-x θα απάντησε λανθασμένα.
Έχουμε λοιπόν 1320=600+\left ( 80x-40\left ( 12-x \right ) \right )\Leftrightarrow 720=120x-480\Leftrightarrow \boxed{x=10}

*Kύριε Νίκο η λύση είναι του Θεοδόση :)
**Μήπως θα έπρεπε η συζήτηση να βρίσκεται στον φάκελο των διαγωνισμών;


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:12 pm

Πρόβλημα 4 γ' γυμνασίου

α)Τα τρίγωνα \overset{\Delta }{\textrm{AB}\Gamma },\overset{\Delta }{B\Gamma \Delta },\overset{\Delta }{\Gamma \Delta E},\overset{\Delta }{\Gamma EZ} είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα:AB=B\Gamma \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\Gamma \Delta \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2=\Gamma E\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^3=\Gamma Z\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^4=4 cm \cdot \dfrac{1}{4}=1cm

β) \angle A\Gamma Z=4\cdot 45^{\circ}=180^{\circ} από το οποίο έπεται το ζητούμενο
γ) \angle H\Delta E=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}, όμοια \angle \Delta EH=45^{\circ} άρα το τετράπλευρο B\Gamma EH είναι ορθογώνιο με \left ( B\Gamma EH \right )=B\Gamma \cdot \Gamma E=\sqrt{2}cm\cdot 2\sqrt{2}cm=4cm^2


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:27 pm

*******************
ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

Έστω p,q οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε p^2+q^2=17.

Από του τύπους Vieta, έχουμε

p+q=-\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-3} και pq=-\dfrac{11\lambda-18}{\lambda-3}.

Είναι

p^2+q^2=(p+q)^2-2pq

Συνεπώς, θέλουμε

(\lambda^2+1)^2+2(11\lambda-18)(\lambda-3)=17(\lambda-3)^2

που είναι ισοδύναμη με

\lambda^4+7\lambda^2-44=0\iff (\lambda^2-4)(\lambda^2+11)=0

με πραγματικές λύσεις \lambda=\pm 2.

Από αυτές δεκτή γίνεται η \lambda=2 με λύσεις x=1,4, εφόσον θέλουμε η Β-θμια εξίσωση να έχει θετικές λύσεις.

-5x^2+5x+40=0\iff x^2-x-8=0 έχει μια θετική και μια αρνητική λύση.)

Φιλικά,

Αχιλλέας


Marlena Panagiotakou
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 23, 2019 2:41 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Marlena Panagiotakou » Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:39 pm

Για το 4ο θέμα της Α’ λυκείου :
Για να ορίζεται η Α θα πρέπει a≠1. Ισχύει :

A = \frac{(a-1)^3(a+1)^3} {(a-1)^4} = \frac{(a+1)^3} {(a-1)}

Ισχύει πως το (a+1)^3 γράφεται ως :

(a-1)^3 + 6a^2 +2

άρα, η A γράφεται ως :

A = \frac{(a-1)^3 + 6a^2 + 2} {(a-1)}

A = \frac{(a-1)^3} {(a-1)} + \frac{6a^2 + 2} {(a-1)}

A = (a-1)^2 + \frac{6a^2 - 6 + 8} {a-1}

A = (a-1)^2 + \frac{6(a-1)(a+1)} {a-1} + \frac{8} {a-1}

A = (a-1)^2 + 6(a+1) + \frac{8} {a-1}

Για να είναι η A ακέραιος αριθμός πρέπει το \frac{8} {a-1} να είναι ακέραιος, άρα το a-1 θα είναι διαιρέτης του 8, συνεπώς θα παίρνει τις τιμές από το σύνολο {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}. Συνεπώς,

a = 0, 2, 3, -1, 5, -3, 9, -7
τελευταία επεξεργασία από Marlena Panagiotakou σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 4:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1103
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:41 pm

Χαιρετώ όλους ! Συγχαρητήρια σε όσους προσπάθησαν και... δεν εγκαταλείπουν ! Για το πρόβλημα 3 της Β Λυκείου
3-Β Λυκείου.PNG
3-Β Λυκείου.PNG (7.83 KiB) Προβλήθηκε 2294 φορές
Αν M το μέσον της AB τότε MH=\parallel \dfrac{BE}{2}=\parallel Z\Gamma άρα ZHM\Gamma παραλληλόγραμμο και ZH \parallel    M\Gamma \perp AB.

Ακόμη  \widehat{ HZ\Gamma}=60^{0} ως παραπληρωματική της \widehat{Z\Gamma M}=120^{0}. Φιλικά , Γιώργος.


Teh
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 11, 2017 11:53 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Teh » Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:52 pm

Στο 4ο της Β' Λυκείου πόσο λέτε να κόψουν αν δεν έχεις απορρίψει την \lambda=-2; Παραπάνω απο 1 μονάδα;


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 798
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:09 pm

JimNt. έγραψε:
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:59 pm
Γ Λυκείου 4
Θεωρώντας τους 2^1,2^2,..,2^{10} παρατηρούμε ότι k\ge 10 αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά 2 θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To k=10 δουλεύει: C_i=(2^{i-1},2^i] για i=\{1,...,10\}
Να πάρει υπήρχε εύκολο construction. Εγώ αντιστοίχησα στον n το f(n)-οστό χρώμα, όπου f(n) είναι το άθροισμα των εκθετών στην κανονική μορφή του n. Εύκολα προκύπτει ότι 1\leq f(n)\leq 10, ενώ μπορούμε ακόμη να αποδείξουμε πως αν a|b και f(a)=f(b), τότε a=b, οπότε δεν έχουμε πρόβλημα.


Houston, we have a problem!
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:13 pm

*******************
ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ
******************

(α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία.

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με B(0,0) και \Gamma(4a,0). (Θα μπορούσαμε να θέσουμε a=1 για ευκολία.)

Τότε είναι A(2a,2\sqrt{3}a), E(0,-2b) και \Delta(4a,-2b) με a,b>0.

Τότε το μέσο της AE είναι το H=\left(a,\sqrt{3}a-b\right) και το μέσο της \Gamma\Delta είναι Z\left(4a,-b\right).

Η κλίση της ευθείας HZ είναι \dfrac{(\sqrt{3}a-b)-(-b)}{a-4a}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, ενώ της AB είναι \sqrt{3}.

Το συμπέρασμα έπεται άμεσα αφού το γινόμενο των δύο κλίσεων είναι -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=-1.

(β) Η παραπάνω κλίση της ευθείας HZ, που ισούται με \tan 150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, μας δίνει άμεσα ότι η γωνία \Gamma\widehat{Z}H=150^\circ-90^\circ=60^\circ.

Αλλιώς, το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το γεγονός ότι τα σημεία B, \Gamma, Z και το σημείο τομής των AB και ZH είναι ομοκυκλικά. Τότε \Gamma\widehat{Z}H=A\widehat{B}\Gamma=60^\circ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επεξεργασία: Προσθήκη σχήματος.
Συνημμένα
thales_B_3_2019.png
thales_B_3_2019.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


petrosqw
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:45 pm

Στο θέμα 1 της Γ'Λυκείου αν κάποιος έφτανε στην σχέση:
(2-x)^{3}(108(2-x)+(x+2)^{3})=0

Και από εκει έβρισκε:(2-x)^{3}=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2

Και μετά έγραφε ότι 108(2-x)+(x+2)^{3}=0
αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης