Σελίδα 1 από 1

IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 09, 2019 4:38 pm
από Filippos Athos
SAIMC-2019_Keystage-3_Individual_Final.x17381.pdf
(523.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 67 φορές
Γειά σας,

Μήπως ενδιαφέρεται κανείς να μεταφράσει τα προβλήματα του IMC Key Stage III- IWYMIC 2019 και να τα λύνουμε μαζί;

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 09, 2019 8:07 pm
από KARKAR
Πρόβλημα 6 .
IMC.png
IMC.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές
Τα σημεία R,T τριχοτομούν την πλευρά DC του παραλληλογράμμου ABCD , εμβαδού E .

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : E_{black}= \dfrac{11}{8} E

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 09, 2019 8:39 pm
από KARKAR
IMC B3.png
IMC B3.png (11.2 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές
Στο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 09, 2019 9:47 pm
από KARKAR
Άσκηση A11
IMC A11.png
IMC A11.png (6.88 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC του σχήματος . Υπόδειξη : (ABC)=111\sqrt{3}

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
από Mihalis_Lambrou
Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
981

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pm
από Filippos Athos
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
3^{0}: 1ος όρος
3^{1}: 2ος όρος
3^{2}: 4ος όρος
3^{3}: 8ος όρος
3^{4}: 16ος όρος
3^{5}: 32ος όρος
3^{6}: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " 3 " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον 100στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον 64, τον 32 και τον 4 όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή 3^{6}+3^{5}+3^{2}=981

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 11, 2019 5:29 pm
από Demetres
Filippos Athos έγραψε:
Παρ Οκτ 11, 2019 3:29 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
Β1. The increasing sequence 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … consists of all the positive
integers which can be expressed as powers of 3 or sums of distinct powers of 3.
Find the 100th term of this sequence.

H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.

Σχόλιο: Την βρήκα ιδιαίτερα ελκυστική άσκηση, που λύνεται σε δύο γραμμές. Γράφω την απάντηση
αλλά όχι την λύση, για να την χαρείτε.
.
Βρήκα το ακόλουθο μοτίβο:
3^{0}: 1ος όρος
3^{1}: 2ος όρος
3^{2}: 4ος όρος
3^{3}: 8ος όρος
3^{4}: 16ος όρος
3^{5}: 32ος όρος
3^{6}: 64ος όρος
Σε κάθε επόμενη δύναμη του " 3 " ο όρος διπλασιάζεται.
Αφού χρειαζόμαστε τον 100στο όρο της ακολουθίας προσθέτουμε
τον 64, τον 32 και τον 4 όρο της ακολουθίας.
Δηλαδή 3^{6}+3^{5}+3^{2}=981
Σωστά, αλλά ας δούμε και γιατί ισχύει το μοτίβο:

Αντιστοιχούμε σε κάθε τέτοιο αριθμό τον αριθμό που λαμβάνεται αν αλλάξουμε τις δυνάμεις του 3 στις αντίστοιχες δυνάμεις του 2. Όμως κάθε αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα διαφορετικών δυνάμεων του 2. Επειδή 100 = 64+32+4 = 2^6 + 2^5 + 2^2 τότε ο 100ος αριθμός είναι ο 3^6 + 3^5 + 3^2 = 981.

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 13, 2019 9:21 pm
από Filippos Athos
KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 8:07 pm
Πρόβλημα 6 .

IMC.png Τα σημεία R,T τριχοτομούν την πλευρά DC του παραλληλογράμμου ABCD , εμβαδού E .

Υπολογίστε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής . Υπόδειξη : Πρέπει να βρείτε : E_{black}= \dfrac{11}{8} E
Από το θεώρημα του Θαλή προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις των πλευρών στο σχήμα.

Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)
ΟπότεE(ABMS)=3\cdot E(ABCD)=3\cdot 48=144cm^{2}
Επομένως E(BPS)=E(ALM)=\frac{1}{4}\cdot E(ABMS)=\frac{1}{4}\cdot 144=36cm^{2}
E(RJT)=\frac{1}{6}\cdot E(DCLP)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot E(ABCD)=\frac{1}{12}\cdot 48=4cm^{2}
Παρατηρούμε το παραλληλόγραμμο ABLP,το σημείο K είναι το σημείο τομής των διαγώνιων AL και BP.
Άρα KK2=KK3.
Αφού K1K3=h τότε KK1=\frac{h}{2}
Επομένως E(RTK)=\frac{1}{2}\cdot E(RJT)=2cm^{2}
Τελικά αφού Eblack=E(BPS)+E(ALM)-E(RJT)-E(RTK)
Eblack=36+36-4-2=66cm^{2}

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 14, 2019 8:44 am
από Mihalis_Lambrou
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 10, 2019 12:15 am
H αύξουσα ακολουθία 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … αποτελείται από όλους τους
θετικούς ακεραίους που μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις του 3 ή ως άθροισμα
διαφορετικών ανά δύο δυνάμεων του 3. Προσδιορίστε τον εκατοστό όρο αυτής της ακολουθίας.
Την παραπάνω λύση του Δημήτρη είχα κατά νου, αλλά ας την γράψω με δικά μου λόγια. Ουσιαστικά λέω ακριβώς το ίδιο πράγμα αλλά, ίσως, προδίδω καθαρότερα την ιδέα πίσω από την σκέψη πριν την λύση:

Η άσκηση μας λέει ότι οι αριθμοί στην ακολουθία είναι εκείνοι που στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης γράφονται με συντελεστές μόνο 0 ή 1 (πετάμε όσους έχουν κάποιο δυάρι). Π.χ 10=9+1= 3^2+1=(101)_3. Αντιστοιχίζουμε τον κάθε αριθμό από αυτούς σε εκείνον που προκύπτει αν τον θεωρήσουμε γραμμένο στο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα 10=(101)_3\rightarrow (101)_2=5.
Τώρα είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι γραμμένοι χωρίς κενά, αρχίζοντας από τον 1, και με την ίδια διάταξη (δεν ανακατεύονται).
Δεδομένου ότι 100= 2^6+2^5+2^2=(1100100)_2, σημαίνει ότι ο εκατοστός αριθμός στην σειρά είναι εκείνος που αντιστοιχίστηκε στον (1100100)_2, δηλαδή ο (1100100)_3=3^6+3^5+3^2=981.

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 18, 2019 3:43 pm
από Filippos Athos
KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 8:39 pm
IMC B3.pngΣτο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .
Στο τραπέζιο ABCD οι διχοτόμοι των \hat{A} , \hat{B} τέμνονται στο M , ενώ εκείνες των \hat{C} , \hat{D}

τέμνονται στο N . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος MN. Υπόδειξη : (MN)=2 .
[/quote]


Σχηματίζοντας τα ύψη του τραπεζίου παίρνουμε το ορθογώνιο ADZP συμπεραίνουμε ότι το ZP=5cm

Άρα BZ+PC=26-5=21cm
Από το Πυθαγώρειο θεώρημα έχουμε
AZ^{2}+BZ^{2}=10^{2}=100 και
DP^{2}+PC^{2}=17^{2}=289
αφού AZ=DP επειδή είναι ύψη και BZ=21-PC, έχουμε:
AZ^{2}+BZ^{2}=100 και
AZ^{2}+(21-BZ)^{2}=289
(21-BZ)^{2}-BZ^{2}=189
BZ=6cm
Τότε PC=21-6=15cm και τα ύψη h=8cm

Προεκτείνουμε τις διχοτόμους AM, DN προς την BC στα σημεία T, K αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ABT, CDK είναι ισοσκελή.
Για το \triangle ABT η \angle BTA=\angle TAD=\angle TAB
Με το ίδιο τρόπο για το \triangle CDK η \angle DKC=\angle ADK=\angle KDC,
επομένως AM=MT και DN=NK (Σ1)

Επίσης AB=BT=10cm \Rightarrow ZT=4cm
DC=CK=17cm \Rightarrow KP=2cm
\downarrow
KT=1cm, ZK=3cm, TP=1cm

Προεκτείνουμε MN προς τα ύψη AZ, DPστα σημεία E, H αντίστοιχα.
Από το (Σ1) ,EM=\frac{1}{2}ZT=2cm και NH=\frac{1}{2}KP=1cm
Τελικά
MN=5-2-1=2cm

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 18, 2019 7:00 pm
από KARKAR
IMC B3.png
IMC B3.png (16.34 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Σχεδιάζω το τραπέζιο ABC'D' "κονταίνοντας" κατά δύο τις βάσεις του αρχικού . Αυτό τώρα είναι

περιγράψιμο , αφού : 10+17=24+3 , δηλαδή οι διχοτόμοι του τέμνονται στο σημείο M .

Επομένως MN=D'D=2 ( παράλληλη μεταφορά ) .

Re: IMC Key Stage III- IWYMIC 2019

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 21, 2019 9:55 pm
από Filippos Athos
KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 9:47 pm
Άσκηση A11
IMC A11.pngΒρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle ABC του σχήματος . Υπόδειξη : (ABC)=111\sqrt{3}
Από ποιό κάτω συμπεραίνουμε οτι AE=X\cdot \sqrt{3}.
Εδώ έχω κολλήσει. :helpsmilie: