Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Σεπ 29, 2019 12:12 pm

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:R \rightarrow R, όπου f(2)>-1 και για κάθε x,y \in R ισχυεί:
f(xf(y)+y)=f(x+y)+xy

Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC. Έστω D, το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά BC. Ο κύκλος με διάμετρος AD και κέντρο O, τέμνει την πλευρά AB στο σημείο E. Επίσης έστω ότι ο κύκλος με διάμετρος DO τέμνει την πλευρά AB στα σημεία P και Q. Οι ευθείες OP και OQ, τέμνουν την προέκταση της πλευράς BC στα σημεία U και V αντίστοιχα. Επίσης οι ευθείες UE και VE τέμνουν τον κύκλο με διάμετρο AD ξανά στα σημεία S και T αντίστοιχα. Εάν B' είναι ο συμμετρικός του B ως προς το σημείο D, να αποδείξετε ότι τα σημεία S,T και B' είναι συνευθειακά.
Πηγή: Βιβλίο Μαθηματικής Ολυμπιάδας Περσίας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Σεπ 29, 2019 1:34 pm

Για την πρώτη στα γρήγορα:
Το P(x+2,-x) δίνει f(something)=-x^2-2x+f(2) για κάθε x.Επειδή f(2)>-1,το παραπάνω RHS θα μηδενίζει σίγουρα για κάποιο x=k.Το P(x,k) δίνει
f(x)=-xk+k^2.Βάζοντας αυτό στην αρχική βγαίνει μοναδική λύση η f(x)=x+1.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 797
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm

Για τη δεύτερη:

Έστω M το μέσο του ES και N το μέσο του ET.

Θα δείξουμε ότι DM//AB.

Προφανώς το D ανήκει στην πολική του U στον κύκλο διαμέτρου AD, ενώ ακόμη ισχύει ότι PD\perp OU. Άρα τελικά η PD είναι η πολική του U.

Έστω K το σημείο τομής της PD με την ES.

Από τα παραπάνω προκύπτει πως η (U, K; E, S) είναι αρμονική τετράδα, οπότε από MacLaurin με το μέσο M του ES έχουμε ότι:

UE\cdot US=UK\cdot UM.

Όμως από δύναμη σημείου είναι UE\cdot US=UD^2, άρα τελικά UD^2=UK\cdot UM. Με άλλα λόγια η UD είναι εφαπτομένη στο τρίγωνο KDM.

Επομένως έχουμε ότι \widehat{KMD}=\widehat{KDB}.

Έστω πως η PD τέμνει τον κύκλο διαμέτρου AD στο L.

Προφανώς η UL είναι εφαπτόμενη σε αυτόν τον κύκλο. Έχουμε πως \widehat{KDB}=\widehat{ULP}.

Όμως παρατηρούμε πως \widehat{ULE}=\widehat{LDE}=\widehat{UPE} (οι τελευταίες δύο είναι ίσες ως συμπληρώματα της \widehat{EPD}).

Οπότε το τετράπλευρο ULPE είναι εγγράψιμο και επομένως \widehat{ULP}=\widehat{UEB}.

Άρα τελικά έχουμε \widehat{KMD}=\widehat{UEB}, δηλαδή DM//AB.

Ομοίως είναι DN//AB, άρα MN//AB και ST//AB.

Αφού τώρα BE//DM είναι και B'S//BE, άρα B'S//AB δηλαδή τα S, T, B' είναι συνευθειακά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Σεπ 29, 2019 5:14 pm

Άλλη μια για τη 2.
Έστω X\equiv DP\cap SE,Y\equiv DQ\cap TE.
Είναι:
1) UVEOA,UVPQ εγγράψιμα από αντιστροφή κέντρου O.
2) XY,ST,BC συντρέχουσες, αφού (U,X,E,S)=(V,Y,E,T)=-1 λόγω πολικών.
Οπότε αρκεί νδο η XY τέμνει την BC στο συμμετρικό του B ως προς το D.

Έχω YDX\angle=POQ\angle=UEV\angle=YEX \angle άρα XYED εγγράψιμο (η 3η,4η ισότητα εξαιτίας του εγγράψιμου UVEOA).
Ακόμα από τα εγγράψιμα UVEOA,AEDST έχω από Reim's πως OP//DS,OQ//DT.
Λόγω αυτών των παραλληλιών και επειδή D(U,X,E,S)=-1DE περνάει από το μέσον του PU.
Αν λοιπόν H \equiv DS\cap AB,το D θα είναι το μέσον του SH (τραπέζιο SHUP) και άρα προβάλλοντας την αρμονική B(U,X,E,S) στην DH καταλήγω στο ότι BX//DS.
Εντελώς όμοια προκύπτει πως BY//DT.
Έτσι BXD\angle=BYD\angle=90=BED\angle και επειδή το XYED είναι εγγράψιμο (παραπάνω) παίρνω πως το XYEBD είναι εγγράψιμο.
Είναι απλό πως οι DS,DT είναι ισογώνιες ως προς τη B\angle-οι BX,BY θα είναι επίσης.
Συνεπώς το EDXY είναι ισοσκελές τραπέζιο,δηλαδή ED//XY, και καθώς η ΕD διχοτομεί την BX (τραπέζιο SHUP) θα είναι η ευθεία που ενώνει τα μέσα στο τρίγωνο που ορίζουν οι AB,BC,XY κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες