ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Με λίγη καθυστέρηση η αλήθεια είναι.
Πρόβλημα 1.
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους cm. Με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του, το χωρίζουμε σε το πλήθος μικρά ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα τριγωνικό πλέγμα. Σε κάθε μικρό ισόπλευρο πλευράς 1 τοποθετούμε έναν ακριβώς ακέραιο από το έως το , έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο τέτοια τρίγωνα με τον ίδιο αριθμό. Με κορυφές τα σημεία του πλέγματος ορίζονται κανονικά εξάγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Ονομάζουμε αξία του εξαγώνου, το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αποτελείται το εξάγωνο. Να βρεθούν (συναρτήσει του ακέραιου αριθμού ) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος των αξιών, όλων των εξαγώνων.
Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω το έκκεντρο του και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις , αντίστοιχα. Αν είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
Πρόβλημα 3.
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Κάθε τετράγωνο ενός πίνακα περιέχει έναν ακέραιο, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες:
(α) Κάθε αριθμός του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπος με .
(β) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε γραμμή του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
(γ) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε στήλη του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
Έστω το γινόμενο των αριθμών της γραμμής και το γινόμενο των αριθμών της -στήλης του πίνακα. Να αποδείξετε ότι τα αθροίσματα και
είναι ισοϋπόλοιπα .
Πρόβλημα 4.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την ισότητα
για κάθε .
Πρόβλημα 1.
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους cm. Με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του, το χωρίζουμε σε το πλήθος μικρά ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα τριγωνικό πλέγμα. Σε κάθε μικρό ισόπλευρο πλευράς 1 τοποθετούμε έναν ακριβώς ακέραιο από το έως το , έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο τέτοια τρίγωνα με τον ίδιο αριθμό. Με κορυφές τα σημεία του πλέγματος ορίζονται κανονικά εξάγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Ονομάζουμε αξία του εξαγώνου, το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αποτελείται το εξάγωνο. Να βρεθούν (συναρτήσει του ακέραιου αριθμού ) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος των αξιών, όλων των εξαγώνων.
Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω το έκκεντρο του και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις , αντίστοιχα. Αν είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
Πρόβλημα 3.
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Κάθε τετράγωνο ενός πίνακα περιέχει έναν ακέραιο, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες:
(α) Κάθε αριθμός του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπος με .
(β) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε γραμμή του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
(γ) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε στήλη του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
Έστω το γινόμενο των αριθμών της γραμμής και το γινόμενο των αριθμών της -στήλης του πίνακα. Να αποδείξετε ότι τα αθροίσματα και
είναι ισοϋπόλοιπα .
Πρόβλημα 4.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την ισότητα
για κάθε .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Αυτό το πρόβλημα είναι ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο με το θέμα 7.42 στο βιβλίο γεωμετρία για διαγωνισμούς 4.silouan έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pmΠρόβλημα 2.
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω το έκκεντρο του και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις , αντίστοιχα. Αν είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Διαγραφή εσφαλμένης λύσης
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Κυρ Σεπ 22, 2019 1:20 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Το το ικανοποιούν άπειρες συναρτήσεις. (και μη σταθερές δηλαδή)
Bye :')
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Κάθε στοιχειώδες τρίγωνο συνεισφέρει στο άθροισμα ή φορές όπως φαίνεται στο σχήμα(σε κάθε τρίγωνο αναγράφεται ο αριθμός των εξαγώνων πλευράς που ανήκει για ) ανάλογα με την θέση τους.Έστω ο αριθμός συνεισφοράς ενός τριγώνου.silouan έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pmΜε λίγη καθυστέρηση η αλήθεια είναι.
Πρόβλημα 1.
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους cm. Με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του, το χωρίζουμε σε το πλήθος μικρά ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ένα τριγωνικό πλέγμα. Σε κάθε μικρό ισόπλευρο πλευράς 1 τοποθετούμε έναν ακριβώς ακέραιο από το έως το , έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο τέτοια τρίγωνα με τον ίδιο αριθμό. Με κορυφές τα σημεία του πλέγματος ορίζονται κανονικά εξάγωνα με πλευρές μήκους 1 cm. Ονομάζουμε αξία του εξαγώνου, το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αποτελείται το εξάγωνο. Να βρεθούν (συναρτήσει του ακέραιου αριθμού ) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος των αξιών, όλων των εξαγώνων.
Έστω ο αριθμός των στοιχείων κάθε συνόλου τριγώνων με ίδιο αριθμό συνεισφοράς(οι δείκτες παραπέμπουν στο αντίστοιχο σύνολο).
Εύκολα βλέπουμε ότι:
- Για το ελάχιστο θα πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς (ακεραίους) από το διάστημα στις θέσεις με ,τους αριθμούς από το στις θέσεις με ,τους στις θέσεις με και τους που μένουν στα γωνιακά:
Προσθέτοντας τα παραπάνω παίρνουμε με τις απλοποιήσεις
Για το μέγιστο ακολουθούμε την αντίστροφη τακτική και βρίσκουμε
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Νομίζω δεν ισχύει αυτό που λες. Μπορείς να κοιτάξεις τις σημειώσεις του κ. Φελλούρη επί των συναρτησιακών εξισώσεων στη σελ.66 του 8ου καλοκαιρινού μαθηματικού σχολείου. Αν εγώ δεν κατάλαβα καλά απο τις σημειώσεις όμως, θα ενδιαφερόμουν για ένα αντιπαράδειγμα.
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
οκ. αν και αν . και
Θα ίσχυε αν έλεγε/ είχες αποδείξει ότι συνεχής.
Θα ίσχυε αν έλεγε/ είχες αποδείξει ότι συνεχής.
Bye :')
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Πάρε να είναι 1 για x=1 και 0 παντού εκτός απο το 1. Λογικά στις σημειώσεις θα αναφέρει για συνεχείς συναρτήσεις, τότε ισχύει.
Υ. Γ. Γράφαμε την ιδια ώρα, το αφήνω
Υ. Γ. Γράφαμε την ιδια ώρα, το αφήνω
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις. Πράγματι έλεγε για ρητή συνάρτηση άρα και συνεχής οπότε έκανα λάθος έχετε δίκιο. Αφήνω τη λανθασμέμη λύση για λίγο μήπως βρει κάποιος καμία διέξοδο
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Όχι εννοώ πηλίκο πολυωνύμων (αν θυμάμαι καλά διότι είμαι πολύ κουρασμένος τώρα). Όπως και να χει δεν νομίζω όμως οτι το θέμα χρήζει άλλης συζήτησης εδώ.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Συνοπτικά μια λύση για το 4:
Θεωρούμε τη συνάρτηση , όπου η έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς.
Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου το , τότε θα απλοποιηθούν τα και θα φτάσουμε στην (*).
Ξέρουμε όμως την πληροφορία ότι .
Θέτοντας στην (*) όπου παίρνουμε ότι (1).
Θέτουμε στην (*) και έχουμε ότι , άρα από την (1) (2)
Θέτουμε στην (*) και έχουμε ότι (3)
Γράφουμε την (2): και μετά αντικαθιστούμε την (3):
Έχουμε συνδέσει και . Εύκολα συνδέουμε τώρα και το και , άρα έχουμε μια σχέση με και και μια άλλη είναι η (2).
Η τώρα μπορεί πρακτικά να βρεθεί λύνοντας το σύστημα (θα βρούμε το άρα και το ) ως , οπότε η έχει την γενική μορφή .
Θεωρούμε τη συνάρτηση , όπου η έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς.
Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου το , τότε θα απλοποιηθούν τα και θα φτάσουμε στην (*).
Ξέρουμε όμως την πληροφορία ότι .
Θέτοντας στην (*) όπου παίρνουμε ότι (1).
Θέτουμε στην (*) και έχουμε ότι , άρα από την (1) (2)
Θέτουμε στην (*) και έχουμε ότι (3)
Γράφουμε την (2): και μετά αντικαθιστούμε την (3):
Έχουμε συνδέσει και . Εύκολα συνδέουμε τώρα και το και , άρα έχουμε μια σχέση με και και μια άλλη είναι η (2).
Η τώρα μπορεί πρακτικά να βρεθεί λύνοντας το σύστημα (θα βρούμε το άρα και το ) ως , οπότε η έχει την γενική μορφή .
Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Που τα ανακαλύπτετε αυτά ! Σας θαυμάζω για τη μνήμη σας ! Καλή χρονιά με πολλές ασκήσεις και ωραίες λύσεις !Xriiiiistos έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 10:04 pmΑυτό το πρόβλημα είναι ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο με το θέμα 7.42 στο βιβλίο γεωμετρία για διαγωνισμούς 4.silouan έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pmΠρόβλημα 2.
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω το έκκεντρο του και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις , αντίστοιχα. Αν είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
silouan έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pm
Πρόβλημα 3.
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Κάθε τετράγωνο ενός πίνακα περιέχει έναν ακέραιο, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες:
(α) Κάθε αριθμός του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπος με .
(β) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε γραμμή του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
(γ) Το άθροισμα των αριθμών σε οποιαδήποτε στήλη του πίνακα είναι ισοϋπόλοιπο με .
Έστω το γινόμενο των αριθμών της γραμμής και το γινόμενο των αριθμών της -στήλης του πίνακα. Να αποδείξετε ότι τα αθροίσματα και
είναι ισοϋπόλοιπα .
Έστω το στοιχείο του πίνακα στη γραμμή και στήλη . Από το (α) για κάθε έχουμε για κάποιον ακέραιο .
Από το (β) για κάθε έχουμε και για κάθε έχουμε .
Θα ξεκινήσουμε αρχικά με για κάθε και θα επιτρέπουμε τις εξής κινήσεις:
(Α) Να επιλέξουμε κάποια και να προσθέσουμε ένα πολλαπλάσιο του στο .
(Β) Να επιλέξουμε κάποια και καθώς και ένα ακέραιο και να προσθέσουμε στα και να αφαιρέσουμε από τα .
Θα δείξουμε ότι με τέτοιες κινήσεις μπορούμε να κάνουμε για κάθε καθώς επίσης και ότι το είναι αναλλοίωτο. Αυτά είναι αρκετά αφού προφανώς αρχικά έχουμε .
Για να δείξουμε ότι μπορούμε να πετύχουμε αρκεί να δείξουμε ότι με κινήσεις τύπου (B) μπορούμε να πετύχουμε αφού μετά με κινήσεις τύπου (Α) μπορούμε εύκολα να πετύχουμε το ζητούμενο.
Επιλέγοντας και μπορούμε για κατάλληλο να έχουμε . Μετά επιλέγοντας και μπορούμε για κατάλληλο να έχουμε . Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πετύχουμε για κάθε . Επειδή όμως το άθροισμα των καθώς και των είναι θα έχουμε και .
Ομοίως πετυχαίνουμε το ζητούμενο για τις πρώτες γραμμές, και ομοίως θα ισχύει αυτόματα το ζητούμενο και για την τελευταία γραμμή. (Κοιτάζοντας κάθε στήλη ξεχωριστά.)
Μένει τώρα να δείξουμε ότι οι αλλαγές τύπου (Α) και (Β) κρατούν το αναλλοίωτο.
Για την τύπου (Α) έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι αλλάξαμε το σε . Τότε το αυξάνεται κατά
Από συμμετρία έχουμε την ίδια αύξηση και στο οπότε το όντως παραμένει αναλλοίωτο.
Για την τύπου (Β) έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι προσθέσαμε στα και και αφαιρέσαμε από τα και .
Τότε το αυξάνεται κατά
Από συμμετρία έχουμε παρόμοιες αυξήσεις (προσοχή στα πρόσημα) και στα και είναι εύκολο να δούμε ότι πάλι το παραμένει αναλλοίωτο. (Αν το σπάσουμε σε περισσότερους όρους από συμμετρία κάθε ένας θα εμφανιστεί μία φορά με «» και μία με «» ή δύο με «» και δύο με «». Π.χ. ο εμφανίζεται με «» για την και με «+» για την .
Σημείωση: Με περισσότερες αλγεβρικές πράξεις θα μπορούσαμε να αποφύγουμε το κόλπο της αναλλοίωτης και να υπολογίσουμε «απευθείας» το .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Έστω η διάμετρος του κύκλου Αν η τέμνει την στο αρκεί να δείξω ότιsilouan έγραψε: ↑Παρ Σεπ 20, 2019 6:39 pmΜε λίγη καθυστέρηση η αλήθεια είναι.
Πρόβλημα 2.
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Έστω το έκκεντρο του και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις , αντίστοιχα. Αν είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του στον κύκλο .
Η τέμνει την στο τον κύκλο στο και έστω διάμετρος και Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με άρα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια:
Αλλά από το ισοσκελές και τη παραλληλία των και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, οπότε τα
ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια:
που σημαίνει ότι το είναι ορθογώνιο, άρα
Έχει κανείς την επίσημη λύση;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Γιώργο, δεν έχω δει κάτι.
Ελπίζω κάποιος μαθητής που έχει πάρει μέρος, να έχει ακούσει κάτι.
Πάντως, όπως έγραψε και ένας φίλος παραπάνω, μια πολύ σύντομη λύση παίρνουμε με αντιστροφή(την γνωρίζω από πριν, δεν την έκανα εγώ).
Χρησιμοποιώ το σχήμα σου :
Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου με την αντιστροφή ως προς τον γίνεται ο κύκλος Euler του τριγώνου .
Η ευθεία γίνεται ι ο κύκλος .
Επομένως , τελικά, το σημείο μεταφέρεται στο σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο το και του κύκλου .
Tα σημεία λοιπόν είναι συνευθειακά και η γωνία είναι ορθή. Επομένως η περνάει από το .
*** Γιώργο, στέλνω και τη λύση που ζητάς. Να την αποθηκεύσεις, γιατί ο κανονισμός δεν επιτρέπει εικόνες τέτοιας μορφής. Θα την αποσύρω σε αύριο(να μου το θυμήσεις).
Ελπίζω κάποιος μαθητής που έχει πάρει μέρος, να έχει ακούσει κάτι.
Πάντως, όπως έγραψε και ένας φίλος παραπάνω, μια πολύ σύντομη λύση παίρνουμε με αντιστροφή(την γνωρίζω από πριν, δεν την έκανα εγώ).
Χρησιμοποιώ το σχήμα σου :
Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου με την αντιστροφή ως προς τον γίνεται ο κύκλος Euler του τριγώνου .
Η ευθεία γίνεται ι ο κύκλος .
Επομένως , τελικά, το σημείο μεταφέρεται στο σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο το και του κύκλου .
Tα σημεία λοιπόν είναι συνευθειακά και η γωνία είναι ορθή. Επομένως η περνάει από το .
*** Γιώργο, στέλνω και τη λύση που ζητάς. Να την αποθηκεύσεις, γιατί ο κανονισμός δεν επιτρέπει εικόνες τέτοιας μορφής. Θα την αποσύρω σε αύριο(να μου το θυμήσεις).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες