IMO 2019

Τσιαλας Νικολαος · #1

Αύριο ξεκινάει η IMO 2019 στο Bath της Αγγλίας. Εύχομαι καλή επιτυχία στην Ελληνική και την Κυπριακή αποστολή αλλά και στους συνοδούς silouan και demetres!!

υ.γ: Όποιος μπορέσει ας ανεβάσει τα θέματα!!

#2

Να ευχηθώ κι εγώ Καλή Επιτυχία στις εθνικές ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!

S.E.Louridas · #3

Να ευχηθώ από καρδιάς στους Έλληνες Διαγωνιζόμενους, αλλά και στούς Κύπριους αδελφούς μας διαγωνιζόμενους, Καλή Επιτυχία και Καλή Επάνοδο.
Δηλώνουμε υπερήφανοι για σας, αφού αποτελείτε ηχηρότατη απάντηση στην πρόκληση της εποχής.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν $\mathbb{Z}$
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

για τις οποίες ισχύει ,

f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))

για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$

jason.prod · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pm
Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν $\mathbb{Z}$
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

για τις οποίες ισχύει ,

για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$

Νομίζω αρκετά εύκολη για ΙΜΟ.

Απλώς βάλτε x=0

και μετά

το

και έχει βγει γραμμική. Τα άλλα θέμα ρουτίνας.

Τσιαλας Νικολαος · #6

Νομίζω ότι είναι σε αυτά που μας "αρέσουν" !!!

giannisd · #7

Για

λαμβάνουμε $f(0)+2f(y)=f(f(y)) \quad (1)$
και για y=0

παίρνουμε

.
Τότε από την (1)

προκύπτει $f(2x)=2f(x)-f(0)\quad (2)$

Από τις σχέσεις (1), (2)

η αρχική γίνεται
$\displaystyle{2f(x)-f(0)+2f(y)=f(0)+2f(x+y)\implies f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0) \quad (3)}$

Έστω g(x):=f(x)-f(0)

.
Αντικαθιστώντας στην (3)

προκύπτει ότι g(x)+g(y)=g(x+y)

,
δηλαδή η

ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy, άρα
$g(x)=kx, \quad k \in \mathbb{Z} \implies f(x)=kx+f(0)$

Αντικαθιστώντας στην αρχική λαμβάνουμε τις λύσεις:
$\displaystyle{ f(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb{Z} }$
$\displaystyle{f(x)=2x+c \quad \forall x \in \mathbb{Z}, c=f(0) }$

EDIT: Καλή επιτυχία στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!

Nick1990 · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pm
Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν $\mathbb{Z}$
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

$f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$

για τις οποίες ισχύει ,

για όλα τα $x,y\in \mathbb{Z}$

Για

έχουμε
$f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1)$ ,
ενώ για y=0

έχουμε
$f(0) + 2f(y) = f(f(y)) \quad (2)$ .
Για x=y

οι 2 τελευταίες δινουν
$f(2x) = 2f(x) - f(0) \quad (3)$ .
Η αρχική μαζί με τη (2) δίνουν:
$f(2x) + 2f(y) = 2f(x + y) + f(0) \quad (4)$ .
Η τελευταία, χρησιμοποιώντας και την (3), γίνεται f(x+y) + f(0) = f(x) + f(y)

, η οποία για y=1

δίνει

για κάθε

, με

. Λύνοντας την αναδρομική έχουμε f(x) = ax + b

για

και

σταθερά. Με αντικατάσταση στην αρχική και εξίσωση συντελεστών βγάζουμε οτι πρέπει και αρκεί a=2

ή

, άρα οι λύσεις είναι ολες οι f(x) = 2x + b

για

ακέραιο και η μηδενική.

#9

Το

o πρόβλημα (Γεωμετρία)

: IMO 2019.png (26.2 KiB) Προβλήθηκε 6988 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, το

είναι σημείο της πλευράς

και το

σημείο της πλευράς

. Έστω

και

σημεία των τμημάτων

AA_1

και

, αντίστοιχα, έτσι ώστε το

να είναι παράλληλο στο

. Έστω

σημείο της ευθείας PB_1

, ώστε το

να

είναι ανάμεσα στα

και

, και $\angle PP_1C=\angle BAC$ . Ομοίως, έστω Q_1

σημείο της ευθείας QA_1

, ώστε το

να είναι ανάμεσα

στα

και

, και $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ . Να δείξετε ότι τα σημεία P,Q,P_1

, και

είναι ομοκυκλικά..

Ιστοσελίδα · #10

Πρόβλημα 3
Ένα κοινωνικό δίκτυο έχει 2019 χρήστες και κάποια ζεύγη εξ αυτών είναι φίλοι. ΑΝ ένας χρήστης Α είναι φίλος με ένα χρήστη Β, τότε και ο Β είναι φίλος με τον Α. Μπορούν να συμβαίνουν επαναλαμβανόμενα ένα και μόνο ένα γεγονός όπως το παρακάτω κάθε φορά:

Τρεις χρήστες A,B,C

τέτοιοι, ώστε ο

είναι φίλος και με τους δύο B, C

, αλλά οι

δεν είναι φιλοι μεταξύ τους, αλλάζουν τις καταστάσεις φιλίας τους έτσι ώστε οι B, C

είναι τώρα φίλοι, αλλά ο

δεν είναι πλέον φίλος με τον

, ούτε με τον

. Όλες οι υπολοιπες φιλίες παραμένουν ίδιες.

ΑΡχικά, 1010

χρήστες έχουν 1009

φίλους ο καθένας και 1009

χρήστες έχουν 1010

φίλους ο καθένας. Αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία τέτοιων γεγονότων μετά από την οποία κάθε χρήστης είναι φίλος με έναν το πολύ άλλον χρήστη.

S.E.Louridas · #11

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:
.........................
O τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες.

AlexNtagkas · #12

Μια απλη και ευκολη ( αλλα αρκετα εκτενης ) λυση στη γεωμετρια προκυπτει Αν θεωρησουμε $A_2\equiv QA_1 \cap C_1$
και
$B_2\equiv PB_1\cap C_1$
οπου C_1

ο περιγεγραμμενος του ABC.
Τοτε βγαινουν εγγραψιμα τα : PQB_2A

οποτε μετα απο "angle chasing" Βγαινουν και τα PQA_2Q_1

Και τελικα βγαινει το ζητουμενο

#13

Καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους σε Ελλάδα και Κύπρο !

Μπ

S.E.Louridas · #14

Καλά αποτελέσματα και καλή επάνοδο σε όλους τους διαγωνιζόμενους της Ελλάδας και της Κύπρου.

#15

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pm
Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:

Αν η τμήσει τις στα σημεία αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A{'} \ C B^’$ που εφάπτονται στο και στα τρίγωνα $PB{'} \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$ , οδηγούν στην λύση.

Θα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #16

Ολα τα θέματα στα Ελληνικά.

https://drive.google.com/open?id=1TaK5T ... XTugPAFC9x

christinat · #17

Αν

από την συναρτησιακη είναι: f(f(0))=3f(0)

(1)

Αν

τοτε

(2)

Αν

Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται f(0)=f(f(x))-2f(x)

(3)

Θέτοντας στην σχεση (3) όπου f(x)=z

προκύπτει ότι f(0)=f(z)-2z

Οποτε

,για κάθε ακέραιο

Από τις σχέσεις (2)-(3):

$2f(0)=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow 2(f(f(x))-2f(x))=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow 2f(f(x))-4f(x)=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow f(f(x))=4f(x)-f(2x)$ (4)

Από τις σχέσεις (3)-(4):

$4f(x)-f(2x)=f(0)+2f(x)\Rightarrow 4f(x)-f(0)=f(2x)+2f(x)$

Αφου f(x)=2x+f(0)

τοτε

Προσθέτοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις κατά μέλη:
f(2x)+2f(x)=8x+3f(0)

Οποτε $4f(x)-f(0)=8x+f(0)\Rightarrow 8x-f(0)=8x+f(0)\Rightarrow 2f(0)=0\Rightarrow f(0)=0$

Αν f(0)=0

τοτε από την (3) είναι $2f(x)=0\Rightarrow f(x)=0$ για κάθε ακέραιο

Άρα

ή

sot arm · #18

christinat έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm

Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται (3)

Θέτοντας στην σχεση (3) όπου προκύπτει ότι

Οποτε ,για κάθε ακέραιο

Χριστίνα καλησπέρα, το παραπάνω έχει λάθος, δεν δικαιούσαι να πεις ότι: f(x)=2x+f(0)

. Ο λόγος είναι ότι το

που έχεις θεωρήσει είναι εξαρτημένη μεταβλητή, ( αφού είναι ίσο με f(x)

) ενώ το χ στην σχέση f(x)=2x+f(0)

,για κάθε ακέραιο

, που καταλήγεις είναι προφανώς, ανεξάρτητη.

Θα μπορούσες να το πεις αυτό αν η

ήταν επί των ακεραίων, όμως για παράδειγμα η f(x)=2x

που ικανοποιεί την συναρτησιακή δεν είναι επί.Με λίγα λόγια το πρόβλημα είναι το για κάθε ακέραιο

, καθώς ισχύει μόνο για κάθε ακέραιο στην εικόνα της

.

Υ.Γ. Καλή επιτυχία στα παιδιά!

S.E.Louridas · #19

silouan έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pm
Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:

Αν η τμήσει τις στα σημεία αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα $ABC, A{'} \ C B^’$ που εφάπτονται στο και στα τρίγωνα $PB{'} \ {P_1} {C}$ και $Q {A^’} Q_1 {C}$ , οδηγούν στην λύση.
Θα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;

Καταρχάς Σιλουανέ, συγγνώμη που άργησα για την απάντηση, αλλά στην δουλειά μου και λόγω ενός διαγωνισμού που θα γίνει για την τράπεζα Ελλάδος εργαζόμαστε πάρα πολλές ώρες και όχι μόνο κάνοντας προσωπικά μάθημα. Έτσι επιφυλάσσομαι και για κάποιες παραλήψεις, επειδή η λύση έγινε βιαστικά, αφού να φανταστείς μόλις πριν μία ώρα γύρισα σπίτι.

.........................
Τελικά ο τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες και ειδικά προς τον Σιλουανό που σίγουρα αυτές τις ώρες δίνει σκληρή μάχη για την κατoχύρωση της αξίας των διαγωνιζόμενων στην ΙΜΟ (το έχω ζήσει προσωπικά στο παρελθόν).

#20

Θερμά Συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή στην ΙΜΟ2019!

Δημητρης Μελας (Αργυρό),
Σπύρος Γαλανόπουλος (Χάλκινο),
Ευθύμης Ντόκας (Χάλκινο),
Δημήτρης Λώλας (Εύφημος μνεία),
Μηνάς Μαργαρίτης (Εύφημος μνεία),
Ειρήνη Μηλιώρη (Εύφημος μνεία)

Η επίλυση και μόνο ενός από τα έξι απαιτητικά προβλήματα που τέθηκαν έχει τεράστια αξία. Σας ευχόμαστε ακόμη μεγαλύτερες επιτυχίες στο μέλλον.

Θερμά συγχαρητήρια ακόμη μια φορά τόσο σε εσάς όσο και στον κ. Φελλούρη και τον Σιλουανό.

Φιλικά,

Αχιλλέας

IMO 2019

IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Re: IMO 2019

Μέλη σε σύνδεση