JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Καλησπέρα σας!
Την περίοδο αυτή πριν την JBMO της Κύπρου, ο μαθητής μας Θάνος Παπαλέξης προετοιμάζεται γράφοντας και κάποια τεστ στο σχολείο, υπό διαγωνιστικές συνθήκες. Στη συνέχεια συζητάμε τις λύσεις του στο σχολείο.
Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.
**********************************************
Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ:
JBMO Practice TEST 1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4,5 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Θεωρούμε το μέσο της πλευράς , το ορθόκεντρο του τριγώνου , το μέσο του τμήματος και το περίκεντρο του τριγώνου . Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι είναι θετικοί αριθμοί, τότε
ΘΕΜΑ 4. Σε κάθε μοναδιαίο τετράγωνο ενός πίνακα γράφουμε ένα θετικό ακέραιο. Μια κίνηση αποτελείται από την επιλογή ενός πίνακα και την πρόσθεση του αριθμού 1 σε τρεις από τους τέσσερις αριθμούς του πίνακα που επιλέξαμε. Καλούμε έναν θετικό ακέραιο καλό αν ξεκινώντας με οποιουσδήποτε αρχικούς ακέραιους, υπάρχει μια ακολουθία κινήσεων που μετατρέπει όλους τους αριθμούς του πίνακα στον ίδιο αριθμό.
(α) Να δειχθεί ότι ο αριθμός δεν είναι καλός.
(β) Να δειχθεί ότι ο , αλλά και ο είναι καλοί.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Την περίοδο αυτή πριν την JBMO της Κύπρου, ο μαθητής μας Θάνος Παπαλέξης προετοιμάζεται γράφοντας και κάποια τεστ στο σχολείο, υπό διαγωνιστικές συνθήκες. Στη συνέχεια συζητάμε τις λύσεις του στο σχολείο.
Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.
**********************************************
Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ:
JBMO Practice TEST 1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4,5 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Θεωρούμε το μέσο της πλευράς , το ορθόκεντρο του τριγώνου , το μέσο του τμήματος και το περίκεντρο του τριγώνου . Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι είναι θετικοί αριθμοί, τότε
ΘΕΜΑ 4. Σε κάθε μοναδιαίο τετράγωνο ενός πίνακα γράφουμε ένα θετικό ακέραιο. Μια κίνηση αποτελείται από την επιλογή ενός πίνακα και την πρόσθεση του αριθμού 1 σε τρεις από τους τέσσερις αριθμούς του πίνακα που επιλέξαμε. Καλούμε έναν θετικό ακέραιο καλό αν ξεκινώντας με οποιουσδήποτε αρχικούς ακέραιους, υπάρχει μια ακολουθία κινήσεων που μετατρέπει όλους τους αριθμούς του πίνακα στον ίδιο αριθμό.
(α) Να δειχθεί ότι ο αριθμός δεν είναι καλός.
(β) Να δειχθεί ότι ο , αλλά και ο είναι καλοί.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Θέμα 1)
Ως γνωστόν, . Ακόμη , οπότε στο τετράπλευρο είναι , δηλαδή είναι παραλληλόγρομμο.
Ως γνωστόν, . Ακόμη , οπότε στο τετράπλευρο είναι , δηλαδή είναι παραλληλόγρομμο.
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Τετ Ιουν 19, 2019 7:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Eνδιαφέρον,
η είναι κυρτή συνάρτηση στους θετικούς άρα από Jensen έχουμε
Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε πως πρέπει να δείξουμε και έχουμε , kai προσθέτοντας τις 3 τελευταίες ανισώτητες παίρνουμε την
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Άλλη μια λύση για το 3ο θέμα:
Η ανισότητα ισοδυναμα γράφεται:
Από ΑΜ-ΓΜ έχω
Οπότε
Θέτω
Οπότε από Cauchy Schwartz έχω:
Αφού ισχύει η τελευταία ανισότητα , θα ισχύει και η αρχική.
Η ανισότητα ισοδυναμα γράφεται:
Από ΑΜ-ΓΜ έχω
Οπότε
Θέτω
Οπότε από Cauchy Schwartz έχω:
Αφού ισχύει η τελευταία ανισότητα , θα ισχύει και η αρχική.
Κώστας
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Άλλη μια λύση. Από C-S έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από ,
οπότε μένει να δείξουμε ότι που ισχύει. https://artofproblemsolving.com/community/c6h6026
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
(α) Παρατηρούμε πως το άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα, έστω παραμένει σταθερό . Επιλέγουμε τους αρχικούς ακέραιους, ώστε το άθροισμά τους να μην διαιρείται με το . Έστω πως μπορούσαμε να τους κάνουμε όλους ίσους, έστω να είναι όλοι . Θα είναι S=36a, άτοπο αφού τώρα το διαιρείται με το , ενώ πριν δεν διαιρούνταν. Άρα ο δεν είναι καλός.achilleas έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 15, 2019 2:20 pm
ΘΕΜΑ 4. Σε κάθε μοναδιαίο τετράγωνο ενός πίνακα γράφουμε ένα θετικό ακέραιο. Μια κίνηση αποτελείται από την επιλογή ενός πίνακα και την πρόσθεση του αριθμού 1 σε τρεις από τους τέσσερις αριθμούς του πίνακα που επιλέξαμε. Καλούμε έναν θετικό ακέραιο καλό αν ξεκινώντας με οποιουσδήποτε αρχικούς ακέραιους, υπάρχει μια ακολουθία κινήσεων που μετατρέπει όλους τους αριθμούς του πίνακα στον ίδιο αριθμό.
(α) Να δειχθεί ότι ο αριθμός δεν είναι καλός.
(β) Να δειχθεί ότι ο , αλλά και ο είναι καλοί.
(β)Πρώτα θα δείξουμε ότι ο είναι καλός. Έστω πως έχουμε αρχικά:
, με χωρίς βλάβη της γενικότητας να είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς. Μπορούμε να κάνουμε τις εξής κινήσεις:
Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή, αποδεικνύοντας πως κάθε αριθμός της μορφής , , είναι καλός.
Πράγματι ισχύει για . Έστω πως ισχύει για κάποιο . Θα δείξουμε τώρα πως ισχύει και για .
Χωρίζουμε τον πίνακα στα , σχηματίζοντας υποπίνακες μεγέθους .
Αρχικά θα διασφαλίσουμε πως το αθροίσματα των αριθμών σε κάθε υποπίνακα είναι ίσα. Εστιάζουμε στο κεντρικό τετράγωνο του μεγάλου πίνακα. Θεωρούμε πως κάθε γωνιακό τετράγωνό του αντιστοιχείται στο άθροισμα των αριθμών του υποπίνακα που ανήκει. Αν φανταστούμε πως έχει αυτόν τον αριθμό, τότε με κατάλληλες διαδικασίες (όπως είπαμε πριν για ), μπορούμε να κάνουμε τους τέσσερις αριθμούς ίσους του . Αν και στην πραγματικότητα το κεντρικό αυτό τετράγωνο δεν θα έχει αυτούς τους αριθμούς, όταν πραγματοποιήσουμε την διαδικασία θα κάνουμε τα τέσσερα αθροίσματα ίσα και πρακτικά ισοϋπόλοιπα .
Τώρα που τα τέσσερα αθροίσματα των υποπινάκων είναι ίσα μεταξύ τους, χρησιμοποιώντας την επαγωγική διαδικασία κάνουμε όλα τα τετραγωνάκια του κάθε υποπίνακα ίσα.
Ωστόσο μπορεί μεταξύ τους οι υποπίνακες να μην έχουν ίσα τετράγωνα. Όμως, αφού πριν την επαγωγική διαδικασία ήταν ισοϋπόλοιπα και αφού η διαδικασία αφήνει το άθροισμα αναλλοίωτο , οι τέσσερις πίνακες θα έχουν ο καθένας τετράγωνα με τον ίδιο αριθμό, οι οποίοι αριθμοί ανά πίνακα θα είναι ισοϋπόλοιποι . Π.χ ο πρώτος υποπίνακας θα έχει μόνο , ο άλλος , ο άλλος και ο άλλος . Θέλουμε να κάνουμε όλους αυτούς τους αριθμούς ίσους.
Πρακτικά η κίνηση που πραγματοποιούμε είναι η επιλογή ενός "Γ" τριών τετραγώνων και η αύξηση των αριθμών σε αυτό. Οπότε αν χωρίσουμε έναν υποπίνακα σε τετραγωνάκια και πραγματοποιήσουμε την κίνηση σε καθένα από τα τέσσερα "Γ" που έχει το , τότε αυξήσαμε κάθε αριθμό του τετραγώνου κατά . Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να αυξήσουμε κάθε αριθμό του υποπίνακα κατά .
Εύκολα τώρα τροποποιούμε τους υποπίνακες, κάνοντας όλους τους αριθμούς ίσους!
Με την επαγωγή λοιπόν δείξαμε πως οι και είναι καλοί!
Υ.Γ Ίσως να υπάρχουν κάποιες ασάφειες. Αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο πείτε μου για να το σουλουπώσω λίγο.
Houston, we have a problem!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Θέμα σε παλιά JBMO νομίζω.
Αν εύκολα έχουμε άτοπο.
Άρα, ή .
Αν , τότε , άτοπο γιατί το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο .
Αν , τότε αν , είναι με το Μικρό Θεώρημα του Fermat, , οπότε .
Από γνωστό Λήμμα (δείτε εδώ για την απόδειξη του) είναι , άρα , που είναι δεκτή λύση.
Τελικά, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Όχι ακριβώς, αλλά μοιάζει πολύ. https://artofproblemsolving.com/communi ... 653p874754
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Βασικά είχε τεθεί και ως Πρόβλημα 1, την τέταρτη μέρα του JBMO Test 2018 επιλογής της Ρουμανίας.silouan έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 16, 2019 3:50 pmΌχι ακριβώς, αλλά μοιάζει πολύ. https://artofproblemsolving.com/communi ... 653p874754
Ορίστε και η παραπομπή: https://artofproblemsolving.com/communi ... 0p15905172.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες