Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2009 (8η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 965
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2009 (8η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιουν 01, 2019 12:42 pm

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το \ldots \% των ψηφίων διαιρείται με το 2, το \ldots \% των ψηφίων διαιρείται με το 3 και το \ldots \% των ψηφίων διαιρείται και με το 2 και με το 3.

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.


Πρόβλημα 2. Στην υποτείνουσά AB ορθογώνιου τριγώνου ABC διαλέγουμε σημείο K, για το οποίο CK=BC. Το τμήμα CK τέμνει την διχοτόμο AL στο μέσο της. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC.


Πρόβλημα 3. Είναι γνωστό, ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax^2+bx+c=0 και bx^2+cx+a (a, b και c μη μηδενικοί αριθμοί) έχουν κοινή ρίζα. Βρείτε την.


Πρόβλημα 4. Σε κάθε κελί τετραγώνου 101 \times 101, εκτός του κεντρικού, είναι τοποθετημένο ένα από δυο σήματα: «στροφή» ή «ευθεία». Αυτοκίνητο εισέρχεται από το εξωτερικό σε τυχαίο κελί του συνόρου του τετραγώνου, ύστερα από το οποίο κινείται παράλληλα προς τις πλευρές των κελιών, τηρώντας δυο κανόνες:

1) Σε κελί με το σήμα «ευθεία» συνεχίζει την κίνηση προς την ίδια κατεύθυνση
2) Σε κελί με το σήμα «στροφή» στρίβει κατά 90^0 (σε οποιαδήποτε μεριά της δικιάς του επιλογής)

Το κεντρικό κελί το καταλαμβάνει ένα σπίτι. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε τα σήματα έτσι, ώστε το αυτοκίνητο να μην έχει την δυνατότητα να συγκρουστεί με το σπίτι.


Πρόβλημα 5. Δυο σημεία του επιπέδου δεν είναι δύσκολο να ενωθούν με τρεις τεθλασμένες έτσι, ώστε να προκύψουν δυο ίσα πολύγωνα (για παράδειγμα όπως στο σχήμα). Συνδέστε δυο σημεία με τέσσερις τεθλασμένες έτσι, ώστε όλα τα τρία προκύπτοντα πολύγωνα να είναι ίσα. (Οι τεθλασμένες δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους ούτε με τον εαυτό τους, εκτός των άκρων.)
mmo_2009_class9_pr5.png
mmo_2009_class9_pr5.png (9.39 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές


Πρόβλημα 6. Δυο παίχτες με την σειρά γράφουν, ο καθένας στο δικό του ήμισυ του πίνακα, από ένα μη μηδενικό φυσικό αριθμό (επαναλήψεις επιτρέπονται) έτσι, ώστε το άθροισμα όλων των αριθμών στο πίνακα να μη υπερβαίνει το 10000. Μετά από αυτό, καθώς το άθροισμα όλων των αριθμών γίνει ίσο με 10000, το παιχνίδι τελειώνει υπολογίζοντας το άθροισμα των ψηφίων σε κάθε ήμισυ του πίνακα. Κερδίζει αυτός, στου οποίου το ήμισυ το άθροισμα των ψηφίων είναι μικρότερο (σε περίπτωση ίσων αθροισμάτων έχουμε ισοπαλία). Μπορεί κάποιος εκ των δυο παιχτών να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλος;


Στατιστικά: (637 γραπτά)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} 
\hline 
\text{\gr} & 1  & 2  & 3  & 4 & 5 & 6 \\ \hline 
+         & 182  & 141 & 19 & 24 & 0 & 3  \\ \hline 
+.         & 1  & 6 & 0 & 5 & 0 & 1  \\ \hline 
\pm     & 1 &  8 & 2 & 4 & 1 & 1  \\ \hline 
\mp     & 2 & 15 & 164 & 22 & 2 & 64 \\ \hline 
-.     & 6 & 11 & 30 & 15 & 15 & 119 \\ \hline 
-          & 366 & 300 & 219 & 462 & 241 & 290 \\ \hline 
0         & 79 & 156 & 203 & 105 & 378 & 159  \\ \hline 
\end{tabular}

Πηγή
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τετ Ιουν 05, 2019 6:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2009 (8η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 01, 2019 1:03 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 01, 2019 12:42 pm
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη

Πρόβλημα 2. Στην υποτείνουσά AB ορθογώνιου τριγώνου ABC διαλέγουμε σημείο K, για το οποίο CK=BC. Το τμήμα CK τέμνει την διχοτόμο AL στο μέσο της. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC.

\widehat{TCL}=\widehat{TLC}\Leftrightarrow 180-2\widehat{B}=90-\dfrac{\widehat{A}}{2}\Leftrightarrow 360-4\left ( 90-\widehat{A} \right )=180-\widehat{A}\Leftrightarrow \widehat{A}=36^{\circ},\widehat{B}=54^{\circ}
Συνημμένα
57.PNG
57.PNG (18.92 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Σάβ Ιουν 01, 2019 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2009 (8η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 01, 2019 5:16 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 01, 2019 12:42 pm
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 3. Είναι γνωστό, ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax^2+bx+c=0 και bx^2+cx+a (a, b και c μη μηδενικοί αριθμοί) έχουν κοινή ρίζα. Βρείτε την.
Έστω r η κοινή ρίζα.

ar^2+br+c=0\Leftrightarrow c=-ar^2-br\,\,(*)

br^2+cr+a=0\overset{(*)}{\Leftrightarrow }br^2-ar^3-br^2+a=0\Leftrightarrow ar^3=a\Leftrightarrow \boxed{r=1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ratio και 3 επισκέπτες