BMO 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
BMO 2019
Καλησπέρα και καλό μήνα σε όλους!!! Αύριο ξεκινάει η Βαλκανιάδα των λυκείων στη Μολδαβία. Θέλω να ευχηθώ καλή επιτυχία στην Ελληνική ομάδα, στην Κυπριακή αλλά και στα παιδιά που θα διαγωνιστούν στην Αθήνα. Όταν θα έχω τα θέματα θα τα ανεβάσω εδω.. εκτός αν με προλάβει κάποιος άλλος συναδελφος.
Υ.γ: hudini κάτι περιμένω !!!
Υ.γ: hudini κάτι περιμένω !!!
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Εύχομαι Καλή Επιτυχία στους Έλληνες και Κυπρίους διαγωνιζόμενους. Αν και πιστεύω ότι η επιτυχία είναι δεδομένη αφού είναι ανάκλαση του σωστού οδοιπορικού προς τη κατεύθυνση αυτή.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Πρόβλημα 1:
Έστω το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , για τις οποίες ισχύει
για κάθε .
Πρόβλημα 2:
Ας είναι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει
και .
Να αποδείξετε ότι ισχύει . Να βρείτε όλες τις τριάδες για τις οποίες ισχύει η ισότητα.
Πρόβλημα 3:
Ας είναι σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι και δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος , για τα οποία ισχύει . Υποθέτουμε ότι:
1) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα
2) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία .
Πρόβλημα 4:
Ένα πλέγμα περιέχει όλα τα σημεία της μορφής , όπου και είναι ακέραιοι με και . Ονομάζουμε συνοριακά, τα σημεία του πλέγματος για τα οποία ισχύει είτε , είτε . Οι τέσσερις ευθείες και ονομάζονται συνοριακές ευθείες. Δύο σημεία του πλέγματος ονομάζονται γειτονικά, αν η απόσταση μεταξύ τους ισούται με .
Η Άννα και ο Βασίλης παίζουν στο πλέγμα το ακόλουθο παιχνίδι.
Η Άννα αρχικά τοποθετεί ένα πιόνι στο σημείο . Ο Βασίλης παίζει πρώτος και στη συνέχεια παίζουν εναλλάξ.
1) Κάθε φορά που παίζει ο Βασίλης διαγράφει το πολύ δύο συνοριακά σημεία από κάθε συνοριακή ευθεία.
2) Κάθε φορά που παίζει η Άννα κάνει ακριβώς τρία βήματα, όπου ως βήμα νοείται η μετακίνηση του πιονιού από το σημείο στο οποίο βρίσκεται, σε ένα γειτονικό σημείο, το οποίο δεν έχει ήδη διαγραφεί.
Αν η Άννα μπορέσει να τοποθετήσει το πιόνι σε κάποιο συνοριακό σημείο, το οποίο δεν έχει διαγραφεί, το παιχνίδι τελειώνει και η Άννα κερδίζει. Υπάρχει στρατηγική νίκης για την Άννα;
Έστω το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , για τις οποίες ισχύει
για κάθε .
Πρόβλημα 2:
Ας είναι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει
και .
Να αποδείξετε ότι ισχύει . Να βρείτε όλες τις τριάδες για τις οποίες ισχύει η ισότητα.
Πρόβλημα 3:
Ας είναι σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι και δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος , για τα οποία ισχύει . Υποθέτουμε ότι:
1) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα
2) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία .
Πρόβλημα 4:
Ένα πλέγμα περιέχει όλα τα σημεία της μορφής , όπου και είναι ακέραιοι με και . Ονομάζουμε συνοριακά, τα σημεία του πλέγματος για τα οποία ισχύει είτε , είτε . Οι τέσσερις ευθείες και ονομάζονται συνοριακές ευθείες. Δύο σημεία του πλέγματος ονομάζονται γειτονικά, αν η απόσταση μεταξύ τους ισούται με .
Η Άννα και ο Βασίλης παίζουν στο πλέγμα το ακόλουθο παιχνίδι.
Η Άννα αρχικά τοποθετεί ένα πιόνι στο σημείο . Ο Βασίλης παίζει πρώτος και στη συνέχεια παίζουν εναλλάξ.
1) Κάθε φορά που παίζει ο Βασίλης διαγράφει το πολύ δύο συνοριακά σημεία από κάθε συνοριακή ευθεία.
2) Κάθε φορά που παίζει η Άννα κάνει ακριβώς τρία βήματα, όπου ως βήμα νοείται η μετακίνηση του πιονιού από το σημείο στο οποίο βρίσκεται, σε ένα γειτονικό σημείο, το οποίο δεν έχει ήδη διαγραφεί.
Αν η Άννα μπορέσει να τοποθετήσει το πιόνι σε κάποιο συνοριακό σημείο, το οποίο δεν έχει διαγραφεί, το παιχνίδι τελειώνει και η Άννα κερδίζει. Υπάρχει στρατηγική νίκης για την Άννα;
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 01, 2019 7:23 pm
Re: BMO 2019
Λύση για άσκηση 2
Διότι έχουμε πως(αφού ισχύει η ισότητα)
Μετά απο τον AM-GM παίρνουμε την σχέση 1
Ομοιώς 2
Απο 1 και 2 παίρνουμε πως
Έπειτα απο την σχέση με χρήση του AM-GM παίρνουμε ότι άρα
Όμως σε αυτή την σχέση είχα καταλήξει προηγουμένως άρα απέδειξα πως η σχέση ισχύει
Τέλος η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=1 που εύκολα εξάγεται απο το γεγονώς ότι χρησημοποίησα την ανισότητα AM-GM και για να ισχύει η ισότητα πρέπει να ισούνται οι όροι στο αριστερό μέρος . Επίσης η τριάδα 0,2,2 ικανοποιεί την ανίσωση αλλά όμως θα την πάρω σαν ειδική περίπτωση η οποία δεν συλλογίζεται στην παραπάνω λύση
Σημείωση:Δεν ξέρω αν ισχύει αυτο που είχα χρησημοποιήσει στην αρχή
Διότι έχουμε πως(αφού ισχύει η ισότητα)
Μετά απο τον AM-GM παίρνουμε την σχέση 1
Ομοιώς 2
Απο 1 και 2 παίρνουμε πως
Έπειτα απο την σχέση με χρήση του AM-GM παίρνουμε ότι άρα
Όμως σε αυτή την σχέση είχα καταλήξει προηγουμένως άρα απέδειξα πως η σχέση ισχύει
Τέλος η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=1 που εύκολα εξάγεται απο το γεγονώς ότι χρησημοποίησα την ανισότητα AM-GM και για να ισχύει η ισότητα πρέπει να ισούνται οι όροι στο αριστερό μέρος . Επίσης η τριάδα 0,2,2 ικανοποιεί την ανίσωση αλλά όμως θα την πάρω σαν ειδική περίπτωση η οποία δεν συλλογίζεται στην παραπάνω λύση
Σημείωση:Δεν ξέρω αν ισχύει αυτο που είχα χρησημοποιήσει στην αρχή
τελευταία επεξεργασία από CharalambosGeo σε Πέμ Μάιος 02, 2019 4:46 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Κάθε λάθος για καλύτερο-Χαράλαμπος Χαραλάμπους
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: BMO 2019
Αν τότε θα είχαμε ότι και οπότε πράγμα άτοπο.
Επομένως, είναι
Έχουμε ότι:
Άρα, αν τότε
Η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου είναι ίση με οπότε
Αρκεί να δειχθεί ότι
που ισχύει, γιατί μετά από τις πράξεις είναι ισοδύναμη με την
Η ισότητα θα ισχύει όταν ή
Για η υπόθεση δίνει ότι οπότε με το ίσον να ισχύει όταν
Για η υπόθεση δίνει ότι οπότε και άρα
Ώστε, οι τριάδες για τις οποίες ισχύει η ισότητα είναι οι και
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: BMO 2019
Μια τηλεγραφική λύση για το πρόβλημα αυτό.
Από τη δοσμένη θα έχουμε ότι . Θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση όπου , αφού σε αντίθετη περίπτωση
.
Άρα, δεδομένης και της διάταξης από την εκφώνηση, θα έχουμε ότι ή . Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται, αφού
.
Επίσης, λύνοντας τη δοσμένη ως προς , θα έχουμε ότι .
Επομένως τώρα έχουμε ότι , επομένως πρέπει να δείξουμε ότι
, στην οποία, θέτοντας , κάνοντας τις πράξεις, παραγοντοποιώντας και απλοποιώντας γίνεται
, οπότε, λόγω της , αρκεί να αποδειχθεί ότι , το οποίο είναι, πια, προφανές.
Στο σημείο που έχω παραλείψει τις πράξεις, αυτές δεν είναι δύσκολο να γίνουν από τον αναγνώστη.
Πρόκειται, κατά τη γνώμη μου, για πολύ ωραίο πρόβλημα, κατάλληλο για τη θέση στην οποία προοριζόταν.
Edit: Αυτή η λύση περιέχει σοβαρή αβλεψία στο τέλος. Θα επανέλθω με τη διορθωμένη.
τελευταία επεξεργασία από jason.prod σε Πέμ Μάιος 02, 2019 8:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
CharalambosGeo έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 3:36 pmΛύση για άσκηση 2
Σημείωση:Δεν ξέρω αν ισχύει αυτο που είχα χρησημοποιήσει στην αρχή
Χαράλαμπε, υπάρχουν διάφορα λάθη.
Εδώ, χρησιμοποίησες ότι και . Δεν επιτρέπεται να τις αφαιρέσεις όμως.
Δυστυχώς το στο οποίο καταλήγεις είναι λανθασμένο. Π.χ. μια λύση είναι η για την οποία έχουμε .
CharalambosGeo έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 3:36 pmΈπειτα απο την σχέση με χρήση του AM-GM παίρνουμε ότι
Όμως σε αυτή την σχέση είχα καταλήξει προηγουμένως άρα απέδειξα πως η σχέση ισχύει
Και εδώ το λάθος είναι παρόμοιο. Έχεις την και έχεις και από AM-GM ότι . Δεν μπορείς από αυτές τις δύο να πάρεις ότι .
Εδώ το λάθος διορθώνεται. Αυτό που έπρεπε να γράψεις είναι:
Από ΑΜ-GM έχουμε αφού ήδη δείξαμε ότι .
Παρεμπιπτόντως, αν είσαι ένα από τα μέλη της ομάδας μας τότε εύχομαι καλή επιτυχία.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: BMO 2019
Έστω με Τότε, από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι ο αριθμός
είναι άρτιος, οπότε
Αν οι (πρώτοι) αριθμοί και είναι άρτιοι, τότε και άρα πράγμα άτοπο.
Συνεπώς, ο αριθμός είναι περιττός πρώτος, για κάθε με
Έστω τώρα με Από τη δοσμένη σχέση έχουμε ότι ο αριθμός
είναι περιττός, οπότε
και άρα
Συνεπώς, έχουμε ότι
δηλαδή
όπου
Τέλος, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο των ακεραίων με . Πράγματι, για ισχύει
αφού από την ανισότητα Bernoulli ισχύει
Συνεπώς, είναι για κάθε με οπότε τελικά
για κάθε
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: BMO 2019
Λύση του συγγραφέα:
Έστω . Αφού , παίρνουμε ότι . Επειδή , παίρνουμε ότι .
Έχουμε , άρα από την πιο πάνω σχέση τη σχέση συμπεραίνουμε ότι .
Γράφουμε και . Από την ΑΜ-ΓΜ, . Επιπλέον, αν και μόνο αν . Επίσης, .
Περίπτωση 1: .
Η συνθήκη μας δίνει .
Για κάθε , έχουμε . Άρα,
.
Αλλά .
Η ισότητα ισχύει όταν και ή , δηλαδή ή και .
Περίπτωση 2: .
Έχουμε .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Πέμ Μάιος 02, 2019 9:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετάφραση στα Ελληνικά
Λόγος: Μετάφραση στα Ελληνικά
Re: BMO 2019
Η Γεωμετρία μου άρεσε!Demetres έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 3:04 pm
Πρόβλημα 3:
Ας είναι σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι και δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος , για τα οποία ισχύει . Υποθέτουμε ότι:
1) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα
2) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία .
Απο ομοιοτητες ορθογωνίων τριγώνων και έχω , άρα και και το είναι εγγράψιμο σε κύκλο, έστω .
Eστω τώρα οι τομές των με τις αντίστοιχα. Εύκολα και εγράψιμα σε κύκλους, έστω . Άρα οι 2 διαγώνιες του 1ου εγράψιμου είναι ριζικοί άξονες του με τους και , και αρκεί να δείξουμε οτι η είναι ριζικος αξονας των και . Αυτο είναι άμεσο απο τα εγράψιμα και , απο τα οποία έχουμε πως τα και έχουν ίδια δύναμη ως προς τους και . Tο σημείο τομής είναι ριζικο κέντρο των , και
Ας κάνει ένας το σχήμα διοτι δεν έχω χρονο.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Παρ Μάιος 03, 2019 6:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Demetres έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 3:04 pmΠρόβλημα 3:
Ας είναι σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι και δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος , για τα οποία ισχύει . Υποθέτουμε ότι:
1) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα
2) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία .
Θέτω το σημείο τομής της με την . Από Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα έχουμε:
Τα ακόλουθα 4 ζεύγη ομοίων τριγώνων (άμεσο από γωνιές) και έχουμε:
Τότε έχουμε:
Άρα από την έχουμε:
Από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Μενελάου (πάλι στο τρίγωνο ) παίρνουμε ότι τα είναι συνευθειακά. Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: BMO 2019
Μια προσπάθεια με επιφύλαξη για την ορθότητα.Demetres έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 3:04 pm
Πρόβλημα 3:
Ας είναι σκαληνό, οξυγώνιο τρίγωνο. Ας είναι και δύο διαφορετικά, εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος , για τα οποία ισχύει . Υποθέτουμε ότι:
1) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα
2) και είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ευθείες και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία .
Θα χρησιμοποιήσω ως λήμμα το αποτέλεσμα εδώ.
Από το παραπάνω λήμμα τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Έστω τα σημεία τομής του κύκλου που ορίζουν τα προαναφερθέν σημεία με το τμήμα . Από το θεώρημα Pascal στο εγγεγραμμένο εξάγωνο τα σημεία τομής των ευθειών που αρίζουν απέναντι πλευρές του, θα είναι συνευθειακά. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και , το σημέιο τομής των ευθειών και , το σημείο τομής των και .
Έστω τα σημεία τομής της ευθείας με τις ευθείες και αντίστοιχα. Τότε εφόσον τα σημεία είναι συνευθειακά τα τρίγωνα και είναι προοπτικά. Από το θεώρημα Desargues, εφόσον οι ευθείες που ορίζουν οι κορυφές και διέρχονται από το σημείο , από το ίδιο σημείο θα διέρχεται και η ευθεία . Άρα και η .
Λείπουν θέματα όπως γιατί ο παραπάνω κύκλος τέμνει την κτλ.
Re: BMO 2019
Για το 3ο στο σχήμα του κ.Δημήτρη.Αρκεί .Αν η προβολή του στην ,από τα εγγράψιμα είναικαι ομοίως και άρα οι , έχουν ίσους διπλούς λόγους (είναι δέσμες ίσων γωνιών μεταξύ ευθειών) από όπου το ζητούμενο έπεται.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Λοιπόν έχουμε και λέμε:
Για την Ελληνική Αποστολή
3 Αργυρά Μετάλλια
Μηνάς Μαργαρίτης (30)
Σπύρος Γαλανόπουλος (30)
Ευθύμης Ντόκας (30)
2 Χάλκινα μετάλλια
Δημήτρης Μελάς (26)
Δημήτρης Λώλας (25)
Για την Κυπριακή αποστολή
1 Χάλκινο Μετάλλιο (Datis Kalali)
2 Εύφημες Μνείες (Ειρήνη Ιωάννου, Χαράλαμπος Γεωργίου)
Πολλά συγχαρητήρια για την εμφάνιση αυτή και συγχαρητήρια και στους συμμετέχοντες που δεν κατάφεραν να πάρουν μετάλλιο (στον Επιμενίδη Κουντουράκη καθώς και στα υπόλοιπα μέλη της Κυπριακής αποστολής!) Έτσι κι αλλιώς η συμμετοχή και μόνο σε μία τέτοια διοργάνωση είναι πολύτιμη εμπειρία!! Επίσης πολλά συγχαρητήρια αξίζουν ο αρχηγός και υπαρχηγός της Ελληνικής και Κυπριακής Αποστολής για την υπερπροσπάθειά τους να στηρίξουν τα γραπτά των μαθητών μας!
Τα cutoffs των μεταλλίων: 31 (χρυσό), 27 (αργυρό), 15 (χάλκινο)
Αλέξανδρος
Για την Ελληνική Αποστολή
3 Αργυρά Μετάλλια
Μηνάς Μαργαρίτης (30)
Σπύρος Γαλανόπουλος (30)
Ευθύμης Ντόκας (30)
2 Χάλκινα μετάλλια
Δημήτρης Μελάς (26)
Δημήτρης Λώλας (25)
Για την Κυπριακή αποστολή
1 Χάλκινο Μετάλλιο (Datis Kalali)
2 Εύφημες Μνείες (Ειρήνη Ιωάννου, Χαράλαμπος Γεωργίου)
Πολλά συγχαρητήρια για την εμφάνιση αυτή και συγχαρητήρια και στους συμμετέχοντες που δεν κατάφεραν να πάρουν μετάλλιο (στον Επιμενίδη Κουντουράκη καθώς και στα υπόλοιπα μέλη της Κυπριακής αποστολής!) Έτσι κι αλλιώς η συμμετοχή και μόνο σε μία τέτοια διοργάνωση είναι πολύτιμη εμπειρία!! Επίσης πολλά συγχαρητήρια αξίζουν ο αρχηγός και υπαρχηγός της Ελληνικής και Κυπριακής Αποστολής για την υπερπροσπάθειά τους να στηρίξουν τα γραπτά των μαθητών μας!
Τα cutoffs των μεταλλίων: 31 (χρυσό), 27 (αργυρό), 15 (χάλκινο)
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Συγχαρητήρια στα παιδιά της Ελλάδας και της Κύπρου για τα μετάλλια!
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: BMO 2019
Θερμά συγχαρητήρια στα μέλη της ελληνικής αποστολής
για τα αποτελέσματα που έφερε η ΕΘνική μας Ομάδα.
για τα αποτελέσματα που έφερε η ΕΘνική μας Ομάδα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 18 επισκέπτες