Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
[i]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
[/i]
[b]1.[/b] Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός , ώστε
.
Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. [size=85](Σ. Ιβάνοβ)[/size]
[b]2.[/b] Κάθε δυο πόλεις, από , της Ρουριτανίας είναι συνδεμένες με απευθείας αερογραμμή με μια εκ δυο εταιριών. Φίλο μονοπωλιακή επιτροπή θέλει, τουλάχιστον διαδρομές να εκτελούνται από την ίδια εταιρία. Για αυτό της επιτρέπεται ακόμη και κάθε μέρα να διαλέξει οποιεσδήποτε τρεις πόλεις και να αλλάξει την δικαιοδοσία τριών διαδρομών, που συνδέουν αυτές τις πόλεις μεταξύ τους (δηλαδή να αφαιρέσει αυτές τις διαδρομές από την μια εταιρία, η οποία τις εκτελεί, και να τις αναθέσει στην άλλη). Για ποιο μέγιστο η επιτροπή εγγυημένα σε κάποιο χρονικό διάστημα θα μπορέσει να επιτύχει το σκοπό της, ανεξάρτητα το πως είναι κατανεμημένες οι διαδρομές την τρέχουσα στιγμή; [size=85](Σ. Μπερλόβ)[/size]
[b]3.[/b] Δίνονται οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και . Να δείξετε, ότι
.
[size=85](Α.Χράμπροβ)[/size]
[b]4.[/b] Δίνεται κυρτό τετράπλευρο . Οι διάμεσοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο και οι διάμεσοι του τριγώνου , στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο , εσωτερικό του τριγώνου . Είναι γνωστό, ότι . Να αποδείξετε, ότι . [size=85](Α.Κουζνέτσοβ, Ρ. Κουζνέτσοβ)
[/size]
[i]Καταληκτική αίθουσα[/i]
[b]5.[/b] Μια τάξη έχει μαθητές. Ο δάσκαλος θέλει να προμηθευτεί σοκολάτες, να διεξάγει μια ολυμπιάδα και να μοιράσει για την επιτυχία των μαθητών όλες τις σοκολάτες (οι λύσαντες ίσο αριθμό προβλημάτων λαμβάνουν ίσο αριθμό, οι λύσαντες λιγότερο, λιγότερες, πιθανόν και μηδενικό αριθμό σοκολάτων ). Για ποιο ελάχιστο αυτό είναι δυνατόν ανεξάρτητα από τον αριθμό των προβλημάτων της ολυμπιάδας και της επίδοσης των μαθητών; [size=85](Μ.Αντίνοβ)[/size]
[b]6.[/b] Είναι δυνατόν άραγε σε όλα τα κελιά ενός άπειρου τετραγωνισμένου επιπέδου να τοποθετήσουμε όλους του θετικούς ακέραιους (από μια φορά) έτσι, ώστε για κάθε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε τετράγωνο να διαιρείτε με τον ; [size=85](Α.Γκολοβάνοβ)
[/size]
[b]7.[/b] Σε τετράγωνο σημειώθηκαν σημεία. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί παραλληλόγραμμο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου, το εμβαδόν του οποίου διαφέρει από το πλήθος των σημείων που είναι τοποθετημένα σε αυτό τουλάχιστον κατά . [size=85](Α.Χράμπροβ)[/size]
[url=http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/]Πηγή η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.[/url]
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
[/i]
[b]1.[/b] Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός , ώστε
.
Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. [size=85](Σ. Ιβάνοβ)[/size]
[b]2.[/b] Κάθε δυο πόλεις, από , της Ρουριτανίας είναι συνδεμένες με απευθείας αερογραμμή με μια εκ δυο εταιριών. Φίλο μονοπωλιακή επιτροπή θέλει, τουλάχιστον διαδρομές να εκτελούνται από την ίδια εταιρία. Για αυτό της επιτρέπεται ακόμη και κάθε μέρα να διαλέξει οποιεσδήποτε τρεις πόλεις και να αλλάξει την δικαιοδοσία τριών διαδρομών, που συνδέουν αυτές τις πόλεις μεταξύ τους (δηλαδή να αφαιρέσει αυτές τις διαδρομές από την μια εταιρία, η οποία τις εκτελεί, και να τις αναθέσει στην άλλη). Για ποιο μέγιστο η επιτροπή εγγυημένα σε κάποιο χρονικό διάστημα θα μπορέσει να επιτύχει το σκοπό της, ανεξάρτητα το πως είναι κατανεμημένες οι διαδρομές την τρέχουσα στιγμή; [size=85](Σ. Μπερλόβ)[/size]
[b]3.[/b] Δίνονται οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και . Να δείξετε, ότι
.
[size=85](Α.Χράμπροβ)[/size]
[b]4.[/b] Δίνεται κυρτό τετράπλευρο . Οι διάμεσοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο και οι διάμεσοι του τριγώνου , στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο , εσωτερικό του τριγώνου . Είναι γνωστό, ότι . Να αποδείξετε, ότι . [size=85](Α.Κουζνέτσοβ, Ρ. Κουζνέτσοβ)
[/size]
[i]Καταληκτική αίθουσα[/i]
[b]5.[/b] Μια τάξη έχει μαθητές. Ο δάσκαλος θέλει να προμηθευτεί σοκολάτες, να διεξάγει μια ολυμπιάδα και να μοιράσει για την επιτυχία των μαθητών όλες τις σοκολάτες (οι λύσαντες ίσο αριθμό προβλημάτων λαμβάνουν ίσο αριθμό, οι λύσαντες λιγότερο, λιγότερες, πιθανόν και μηδενικό αριθμό σοκολάτων ). Για ποιο ελάχιστο αυτό είναι δυνατόν ανεξάρτητα από τον αριθμό των προβλημάτων της ολυμπιάδας και της επίδοσης των μαθητών; [size=85](Μ.Αντίνοβ)[/size]
[b]6.[/b] Είναι δυνατόν άραγε σε όλα τα κελιά ενός άπειρου τετραγωνισμένου επιπέδου να τοποθετήσουμε όλους του θετικούς ακέραιους (από μια φορά) έτσι, ώστε για κάθε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε τετράγωνο να διαιρείτε με τον ; [size=85](Α.Γκολοβάνοβ)
[/size]
[b]7.[/b] Σε τετράγωνο σημειώθηκαν σημεία. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί παραλληλόγραμμο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου, το εμβαδόν του οποίου διαφέρει από το πλήθος των σημείων που είναι τοποθετημένα σε αυτό τουλάχιστον κατά . [size=85](Α.Χράμπροβ)[/size]
[url=http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/]Πηγή η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.[/url]
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:01 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pm1. Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός , ώστε
.
Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. (Σ. Ιβάνοβ)
Πηγή η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.
όπου η αριθμητική πρόοδος είναι η εξής με
Έστω ότι υπάρχει μηδενικός όρος στην x θέση τότε
λόγο της αριθμητικής προόδου όμως ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσου του 1 και αυτό σημαίνει πως στην τελαυταία ισότητα που έχουμε το αριστερό μέλος είναι αρνητικό ή ίσο με το 0 και το δεξί θετικός το οποίο είναι άτοπο. Οπότε δεν υπάρχει μηδενικός όρος στην αριθμητική πρόοδο.
η τελαυταία ισότητα έχει λάθος θα το διορθώσω όταν μπορέσω
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Έστω η διαφορά της προόδου, και ο πρώτος όρος. Η δοσμένη γράφεται (εύκολο) (1) (υπέθεσα ότι ).Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
1. Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός , ώστε
.
Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. (Σ. Ιβάνοβ)
Αν υπάρχει μηδενικός όρος, ας πούμε ο , τότε .
Οπότε, από την (1) προκύπτει ότι , άτοπο, αφού .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Έστω, . Θα δείξω ότι το είναι εγγράψιμο. Έστω το μέσον της , και .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
4. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο . Οι διάμεσοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο και οι διάμεσοι του τριγώνου , στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο , εσωτερικό του τριγώνου . Είναι γνωστό, ότι . Να αποδείξετε, ότι . (Α.Κουζνέτσοβ, Ρ. Κουζνέτσοβ)
Είναι, και .
Είναι, (τα είναι βαρύκεντρα), επομένως , επομένως , αφού .
Επίσης, , από το παραλληλόγραμμο . Συνεπώς, ισοσκελές τραπέζιο, οπότε και εγγράψιμο.
Συνεπώς, , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Η ανισότητα γράφεται , οπότε αν , είναι .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
3. Δίνονται οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και . Να δείξετε, ότι
.
(Α.Χράμπροβ)
Έστω τώρα . Γράφω την ανισότητα ως .
Θεωρώ την συνάρτηση και θα δείξω ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
Είναι, , και αρκεί , και αφού , αρκεί λοιπόν , ή αλλιώς , όπου .
Αρκεί λοιπόν . Αν , η προηγούμενη είναι προφανής.
Έστω λοιπόν , και οπότε αρκεί . Θέτω , οπότε αρκεί , και αφού .
Συνεπώς, η είναι φθίνουσα, οπότε , και αρκεί μετά από πράξεις να δείξω ότι , που είναι προφανές.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Μόλις τώρα συνειδητοποιήσα ότι υπάρχει μία πολύ πιο εύκολη λύση για την προηγούμενη άσκηση.
Αρκεί να δείξω ότι , και αφού , είναι από την Bernoulli, .
Αρκεί να δείξω ότι , και αφού , είναι από την Bernoulli, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Αν κάθε μαθητής έχει διαφορετική επίδοση, τότε ο δάσκαλος θέλει τουλάχιστον σοκολάτες.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
5. Μια τάξη έχει μαθητές. Ο δάσκαλος θέλει να προμηθευτεί σοκολάτες, να διεξάγει μια ολυμπιάδα και να μοιράσει για την επιτυχία των μαθητών όλες τις σοκολάτες (οι λύσαντες ίσο αριθμό προβλημάτων λαμβάνουν ίσο αριθμό, οι λύσαντες λιγότερο, λιγότερες, πιθανόν και μηδενικό αριθμό σοκολατιών ). Για ποιο ελάχιστο αυτό είναι δυνατόν ανεξάρτητα από τον αριθμό των προβλημάτων της ολυμπιάδας και της επίδοσης των μαθητών; (Μ.Αντίνοβ)
Αν έχει τόσες σοκολάτες τότε μπορεί σίγουρα να πετύχει το ζητούμενο: Έστω ότι έχουμε μαθητές οι οποίοι έχουν τον χαμηλότερο βαθμό, με το δεύτερο χαμηλότερο βαθμό κ.ο.κ. μέχρι τους μαθητές με τον ψηλότερο βαθμό. Τότε έχουμε . Ο δάσκαλος μπορεί να δώσει σοκολάτες σε αυτούς με τον χαμηλότερο βαθμό, από μία σε αυτούς με τον δεύτερο χαμηλότερο κ.ο.κ. Συνολικά θα χρειαστεί:
σοκολάτες. Έχουμε:
Άρα όπως ισχυριστήκαμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Απρ 27, 2019 4:25 pmΈστω η διαφορά της προόδου, και ο πρώτος όρος. Η δοσμένη γράφεται (εύκολο) (1) (υπέθεσα ότι ).Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
1. Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός , ώστε
.
Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. (Σ. Ιβάνοβ)
Αν υπάρχει μηδενικός όρος, ας πούμε ο , τότε .
Οπότε, από την (1) προκύπτει ότι , άτοπο, αφού .
Δεν μας εγγυάται κάποιος ότι τα είναι ακέραιοι. Οπότε από την δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι . Λύνοντας όμως ως προς και αντικαθιστώντας στην (1) καταλήγουμε στο οπότε πάλι καταλήγουμε προς άτοπο όπως στη λύση του Ορέστη.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
2. Κάθε δυο πόλεις, από , της Ρουριτανίας είναι συνδεμένες με απευθείας αερογραμμή με μια εκ δυο εταιριών. Φίλο μονοπωλιακή επιτροπή θέλει, τουλάχιστον διαδρομές να εκτελούνται από την ίδια εταιρία. Για αυτό της επιτρέπεται ακόμη και κάθε μέρα να διαλέξει οποιεσδήποτε τρεις πόλεις και να αλλάξει την δικαιοδοσία τριών διαδρομών, που συνδέουν αυτές τις πόλεις μεταξύ τους (δηλαδή να αφαιρέσει αυτές τις διαδρομές από την μια εταιρία, η οποία τις εκτελεί, και να τις αναθέσει στην άλλη). Για ποιο μέγιστο η επιτροπή εγγυημένα σε κάποιο χρονικό διάστημα θα μπορέσει να επιτύχει το σκοπό της, ανεξάρτητα το πως είναι κατανεμημένες οι διαδρομές την τρέχουσα στιγμή; (Σ. Μπερλόβ)
Θα δείξουμε ότι το μέγιστο είναι το .
Καταρχάς παρατηρούμε ότι για κάθε πόλη και κάθε αερογραμμή, το πλήθος των διαδρομών αυτής της αερογραμμής που περνούν από τη συγκεκριμένη πόλη είναι αναλλοίωτο modulo .
Αν λοιπόν αρχικά πάρουμε ζεύγη πόλεων και βάλουμε μεταξύ των πόλεων των ζευγών μία διαδρομή από την αντίπαλη εταιρεία, τότε ότι και να κάνουμε μετά, σε κάθε μία από αυτές τις πόλεις θα υπάρχει πάντα τουλάχιστον μία διαδρομή από την αντίπαλη εταιρεία. Άρα η αντίπαλη εταιρεία θα έχει πάντα τουλάχιστον διαδρομές ενώ η αγαπημένη μας εταιρεία θα έχει το πολύ διαδρομές.
Έστω τώρα ότι καταφέραμε μέσω επιτρεπόμενων αλλαγών να κάνουμε τις διαδρομές τις αντίπαλης εταιρείες όσο το δυνατόν λιγότερες. Τότε δεν μπορεί να υπάρχει πόλη με δύο ή περισσότερες διαδρομές της αντίπαλης εταιρείας. Αυτό ισχύει διότι αν έχουμε διαδρομές και της αντίπαλης εταιρείας, τότε αλλάζοντας τη δικαιοδοσία των διαδρομών , οι διαδρομές της αντίπαλης εταιρείας μειώνονται τουλάχιστον κατά μία, άτοπο.
Άρα από κάθε πόλη περνάει το πολύ μία διαδρομή της αντίπαλης εταιρείας και άρα συνολικά έχουμε το πολύ διαδρομές της αντίπαλης εταιρείας, όπως θέλαμε να δείξουμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Επεξεργασία: Η πιο κάτω λύση είναι λανθασμένη. Δείτε π.χ. εδώ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
7. Σε τετράγωνο σημειώθηκαν σημεία. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί παραλληλόγραμμο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου, το εμβαδόν του οποίου διαφέρει από το πλήθος των σημείων που είναι τοποθετημένα σε αυτό τουλάχιστον κατά . (Α.Χράμπροβ)
Θα ονομάζουμε ένα ορθογώνιο του τύπου που θέλουμε να βρούμε καλό.
Έστω ότι έχουμε ορθογώνιο διαστάσεων στο οποίο είναι σημειωμένα σημεία όπου . Υποθέτουμε ότι .
Κοιτάζουμε ένα κεντρικό τετράγωνο μέσα στο ορθογώνιο. Αν δεν υπάρχουν σημεία μέσα σε αυτό, τότε είναι καλό και τελειώσαμε. Αλλιώς παίρνουμε ένα σημείο μέσα στο τετράγωνο και το χρησιμοποιούμε για να χωρίσουμε το ορθογώνιο σε άλλα ορθογώνια. Το άθροισμα των εμβαδών τους είναι ίσο με ενώ το πλήθος των σημείων μέσα σε αυτά είναι τουλάχιστον επειδή το σημείο που πήραμε ανήκει και στα τέσσερα ορθογώνια. Άρα τουλάχιστον ένα από αυτά τα τέσσερα μικρότερα ορθογώνια έχει διαστάσεις και σημειωμένα σημεία με . Επιπλέον έχουμε και .
Εφαρμόζουμε το πιο πάνω ξεκινώντας από και . Είτε θα βρούμε ένα καλό τετράγωνο είτε θα πάρουμε ένα ορθογώνιο με και . Μέσα σε αυτό είτε θα βρούμε ένα καλό τετράγωνο, είτε θα πάρουμε ένα ορθογώνιο με και . Επαναλαμβάνοντας άλλες φορές, είτε θα έχουμε βρει ένα καλό τετράγωνο είτε θα καταλήξουμε σε ένα ορθογώνιο με και . Αυτό όμως είναι ένα καλό ορθογώνιο οπότε τελειώσαμε.
Ασφαλώς, με περισσότερη προσοχή μπορούμε να έχουμε αρκετά μεγαλύτερη διαφορά από το .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
έγραψε: ↑Παρ Απρ 12, 2019 9:42 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη
7. Σε τετράγωνο σημειώθηκαν σημεία. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί παραλληλόγραμμο, με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου, το εμβαδόν του οποίου διαφέρει από το πλήθος των σημείων που είναι τοποθετημένα σε αυτό τουλάχιστον κατά . (Α.Χράμπροβ)
Έριξα μια ματιά στις επίσημες λύσεις...Νομίζω αν και δεν αναφέρεται ρητά, οι διοργανωτές άφησαν κατά λάθος το . Το σχόλιο είναι: "Αν και το πρόβλημα ισχύει, είναι αρκετά δύσκλο για την θέση που βρίσκεται. Καλύτερα θεωρείστε ".
Στην συνέχεια δίνονται τρεις λύσεις μια για την περίπτωση (σχολική ολυμπιακή) και δυο για την περίπτωση με το σχόλιο δεν είναι (κάνουν) για την ολυμπιάδα.
Παρεμπιπτόντως, από τα στατιστικά, κανένας μαθητής δεν κατάφερε να λύσει το πρόβλημα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 19 επισκέπτες