Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Al.Koutsouridis · #1

Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

1. Για τους πραγματικούς αριθμούς a,b

και

είναι γνωστό, ότι abc+a+b+c=10

,

. Για ποιους αριθμούς

μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών a,b,c

ισούται με

; (Να βρείτε όλους τους τέτοιους

και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλοι.)

2. Ο κύριος

για μια ώρα στάθηκε στο σημείο με συντεταγμένες (0,0)

. Κατά την διάρκεια της ίδιας ώρας, κινήθηκε ευθύγραμμα και ομαλά, ο κύριος

από το σημείο (22,0)

προς το σημείο (2,20)

. Κατά την ίδια ώρα η δεσποινίς

, επίσης κινούμενη ευθύγραμμα και ομαλά, μετακινήθηκε από το σημείο (30,4)

στο

. Πόσες φορές κατά την διάρκεια της παραπάνω χρονικής παρατήρησης το εμβαδόν του τριγώνου ABC

έλαβε ακέραια τιμή; Η αρχική και τελική στιγμή συμπεριλαμβάνονται.

3. Από

κανονικά εξάγωνα πλευράς

σχηματίστηκε πολύγωνο στο επίπεδο, «κολλώντας» τα εξάγωνα κατά πλευρά. Οποιαδήποτε δυο εξάγωνα είτε έχουν ακριβώς μια κοινή πλευρά, είτε δεν έχουν καθόλου κοινά σημεία. Στο εσωτερικό του πολυγώνου δεν υπάρχουν τρύπες. Εξάλλου κάθε εξάγωνου τουλάχιστον μια πλευρά βρίσκεται στο σύνορο του πολυγώνου. Ποια είναι η ελάχιστη περίμετρος που μπορεί να έχει το πολύγωνο υπό τις παραπάνω συνθήκες;

4. Από τις κορυφές του τριγώνου ABC

άγονται τρεις παράλληλες ευθείες a,b,c

αντίστοιχα, μη παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Έστω $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ τα μέσα των πλευρών BC, CA, AB

και $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ τα σημεία τομής του ζεύγους ευθείων

και $B_{0}C_{0}$ ,

και $C_{0}A_{0}$ ,

και $A_{0}B_{0}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι οι ευθείες $A_{0}A_{1}$ , $B_{0}B_{1}$ και $C_{0}C_{1}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

5. Θεωρούμε όλα τα δυνατά τριώνυμα δευτέρου βαθμού x^2+px+q

με ακέραιους συντελεστές

και

. Θα ονομάσουμε σύνολο τιμών ενός τέτοιου τριωνύμου το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει σε ακέραια σημεία $x= 0, \pm 1, \pm 2, …$ Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός τέτοιων τριωνύμων που μπορούμε να διαλέξουμε, ώστε τα σύνολα τιμών τους ανά δυο να είναι ξένα μεταξύ τους.

6. Η ακολουθία αριθμών $\tau (1), \tau (2), …, \tau (n)$ ονομάζεται μετάθεση μήκους

, αν ο καθένας εκ των αριθμών 1,2,…, n

συναντάται σε αυτή την ακολουθία ακριβώς από μια φορά. Για παράδειγμα, $\tau (1) =3, \tau (2)= 2, \tau (3)=1$ είναι μια μετάθεση μήκους

. Να βρείτε όλα τα

, για τα οποία θα βρεθεί μετάθεση $\tau (1), \tau (2), …, \tau (n)$ , που ικανοποιεί τις τέσσερις συνθήκες:

$\bullet$ Οι αριθμοί $\tau (i)-i$ για όλα τα

από

έως

συμπεριλαμβανομένου έχουν ανά δύο διαφορετικά υπόλοιπα στη διαίρεση με το

.

$\bullet$ Οι αριθμοί $\tau (i)-2i$ για όλα τα

από

έως

συμπεριλαμβανομένου έχουν ανά δύο διαφορετικά υπόλοιπα στη διαίρεση με το

.

$\bullet$ Οι αριθμοί $\tau (i)-3i$ για όλα τα

από

έως

συμπεριλαμβανομένου έχουν ανά δύο διαφορετικά υπόλοιπα στη διαίρεση με το

.

$\bullet$ Οι αριθμοί $\tau (i)-4i$ για όλα τα

από

έως

συμπεριλαμβανομένου έχουν ανά δύο διαφορετικά υπόλοιπα στη διαίρεση με το

.

(*) Η ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» διοργανώνεται από την «Ανώτατη Σχολή Οικονομικών» του Εθνικού Ερευνητικού Πανεπιστημίου της Ρωσίας και εντάσσεται σε ένα σύνολο εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδων που δίνει έξτρα μόρια στους υποψήφιους για την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Παρόλο που κανονικά θα λέγαμε ότι ανήκει στο φάκελο «Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων», λόγω της φύσης των θεμάτων θεώρησα ότι θα ήταν καλύτερα να τοποθετηθεί στον παρόν φάκελο.

Πηγή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

1. Για τους πραγματικούς αριθμούς και είναι γνωστό, ότι , . Για ποιους αριθμούς μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών ισούται με ; (Να βρείτε όλους τους τέτοιους και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλοι.)

Ισχύει η ταυτότητα
$abc+a+b+c-\left ( ab+bc+ac \right )-1=\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )$

Άρα αντικαθιστώντας $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )=0$

Που δίνει ότι τουλάχιστον ένας πρέπει να είναι ίσος με

.

Al.Koutsouridis · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:36 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

1. Για τους πραγματικούς αριθμούς και είναι γνωστό, ότι , . Για ποιους αριθμούς μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών ισούται με ; (Να βρείτε όλους τους τέτοιους και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλοι.)

Ισχύει η ταυτότητα
$abc+a+b+c-\left ( ab+bc+ac \right )-1=\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )$

Άρα αντικαθιστώντας $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )=0$

Που δίνει ότι τουλάχιστον ένας πρέπει να είναι ίσος με .

Σωστά! Το ψειρίζουμε λίγο..., όμως για την πληρότητα της λύσης θα πρέπει να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 11:07 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:36 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

1. Για τους πραγματικούς αριθμούς και είναι γνωστό, ότι , . Για ποιους αριθμούς μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών ισούται με ; (Να βρείτε όλους τους τέτοιους και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλοι.)

Ισχύει η ταυτότητα
$abc+a+b+c-\left ( ab+bc+ac \right )-1=\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )$

Άρα αντικαθιστώντας $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )=0$

Που δίνει ότι τουλάχιστον ένας πρέπει να είναι ίσος με .
Σωστά! Το ψειρίζουμε λίγο..., όμως για την πληρότητα της λύσης θα πρέπει να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι .

Δεν ξέρω αν είναι σωστό,

Επειδή αναγκαστικά κάποιος είναι

έστω

τότε όμως αρκεί bc+b+c=9

η οποία όμως έχει άπειρες λύσεις ,άρα ο μόνος

είναι ο

Al.Koutsouridis · #5

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 11:53 pm
Δεν ξέρω αν είναι σωστό,

Επειδή αναγκαστικά κάποιος είναι έστω
τότε όμως αρκεί η οποία όμως έχει άπειρες λύσεις ,άρα ο μόνος είναι ο

Σωστό!

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)
...
4. Από τις κορυφές του τριγώνου άγονται τρεις παράλληλες ευθείες αντίστοιχα, μη παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Έστω $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ τα μέσα των πλευρών και $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ τα σημεία τομής του ζεύγους ευθείων και $B_{0}C_{0}$ , και $C_{0}A_{0}$ , και $A_{0}B_{0}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι οι ευθείες $A_{0}A_{1}$ , $B_{0}B_{1}$ και $C_{0}C_{1}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

: Υψηλά πρότυπα (θέμα 4).png (38.37 KiB) Προβλήθηκε 1315 φορές

$\bullet$ Έστω ${{C}_{2}}\equiv {{A}_{0}}{{B}_{0}}\cap \left( a \right)$ . Τότε με ${{B}_{0}}$ το μέσο της και $A{{C}_{2}}\parallel C{{C}_{1}}\left( a\parallel c \right)$ θα είναι και ${{B}_{0}}$ μέσο της ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ οπότε με ${{C}_{0}}$ το μέσο της και $AB\parallel {{C}_{1}}{{C}_{2}}$ (από το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου…) προκύπτει από το Θεώρημα της κεντρικής δέσμης (με κέντρο το ${{A}_{1}}$ ) ότι ${{A}_{1}},B,{{C}_{1}}$ είναι συνευθειακά.
Με όμοιο τρόπο προκύπτει η συνευθειακότητα των τριάδων των σημειοσειρών $\left( {{B}_{1}},C,{{A}_{1}} \right),\left( {{C}_{1}},A,{{B}_{1}} \right)$

$\bullet$ Με ${{A}_{1}}{{C}_{0}}\parallel BC$ και ${{A}_{0}}$ το μέσο της προκύπτει ότι η δέσμη ${{A}_{1}}.B{{A}_{0}}C{{C}_{0}}$ είναι αρμονική και για παρόμοιο λόγο προκύπτει ότι και η δέσμη ${{C}_{1}}.B{{C}_{0}}A{{A}_{0}}$ είναι αρμονική.

$\bullet$ Οι αρμονικές λοιπόν δέσμες ${{A}_{1}}.B{{A}_{0}}C{{C}_{0}}$ και ${{C}_{1}}.B{{C}_{0}}A{{A}_{0}}$ ( έχουν ίσους διπλούς λόγους (λόγω αρμονικότητας)) και με κοινή ακτίνα ${{A}_{1}}B\equiv {{C}_{1}}B\equiv {{A}_{1}}{{C}_{1}}$ προκύπτει ότι τα σημεία τομής των ομολόγων άλλων τριών ακτινών τους είναι συνευθειακά, δηλαδή τα $S\equiv {{A}_{1}}{{A}_{0}}\cap {{C}_{1}}{{C}_{0}},{{B}_{1}}\equiv {{A}_{1}}C\cap {{C}_{1}}A,{{B}_{0}}\equiv {{A}_{1}}{{C}_{0}}\cap {{C}_{1}}{{A}_{0}}$ είναι συνευθειακά ή ισοδύναμα οι ευθείες ${{A}_{0}}{{A}_{1}},{{B}_{0}}{{B}_{1}},{{C}_{0}}{{C}_{1}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο (εδώ το ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

2. Ο κύριος για μια ώρα στάθηκε στο σημείο με συντεταγμένες . Κατά την διάρκεια της ίδιας ώρας, κινήθηκε ευθύγραμμα και ομαλά, ο κύριος από το σημείο προς το σημείο . Κατά την ίδια ώρα η δεσποινίς , επίσης κινούμενη ευθύγραμμα και ομαλά, μετακινήθηκε από το σημείο στο . Πόσες φορές κατά την διάρκεια της παραπάνω χρονικής παρατήρησης το εμβαδόν του τριγώνου έλαβε ακέραια τιμή; Η αρχική και τελική στιγμή συμπεριλαμβάνονται.

Καλησπέρα!

Θέτω B(22,0),B'(2,20),C(30,4),C'(0,24)

και

οι θέσεις των ατόμων μία χρονική στιγμή

(σε λεπτά).

Επίσης έστω u_b,u_c

οι ταχύτητες των B,C

αντίστοιχα.

$\left\{\begin{matrix} &u_b=\dfrac{BB'}{60} =\dfrac{20\sqrt{2}}{60}=\dfrac{\sqrt{2}}{3} &\\ \\ &u_c=\dfrac{CC'}{60}=\dfrac{10\sqrt{13}}{60}=\dfrac{\sqrt{13}}{6} & \end{matrix}\right.$

Οπότε για τα B_1,C_1

$\left\{\begin{matrix} & BB_1=\dfrac{\sqrt{2}}{3}t & \\ \\ &CC_1=\dfrac{\sqrt{13}}{6}t & \end{matrix}\right.$

Οι ευθείες BB',CC

' είναι της μορφής y=ax+b

.Άρα:

$BB':y=ax+b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 0=22a+b & \\ & 20=2a+b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=-1,b=20\Leftrightarrow y=-x+22$

$CC':y_1=nx_1+c\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 4=30n+c & \\ & 24=0n+c & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow c=24,n=-\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow y_1=-\dfrac{2}{3}x_1+24$

Οπότε

$BB'=\dfrac{\sqrt{2}}{3}t\Leftrightarrow y^2+(22-x)^2=\dfrac{2}{9}t^2\Leftrightarrow 2(22-x)^2=\dfrac{2}{9}t^2\Leftrightarrow \boxed{x=22-\dfrac{t}{3},y=\dfrac{t}{3}}$

$CC'=\dfrac{\sqrt{13}}{6}t\Leftrightarrow \left ( 30-x_1 \right )^2+(y_1-4)^2=\dfrac{13}{36}t^2\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \dfrac{1}{9}x_1^2-\dfrac{20}{3}x_1+(100-\dfrac{t^2}{36})\\ \\ ...\varepsilon \acute{\iota} \nu \alpha \iota \,\,\Delta =\dfrac{t^2}{9^2}\,\,\acute{\alpha} \rho \alpha \,\,\,\boxed{x_1=30-\dfrac{t}{2},y_1=4+\dfrac{t}{3}}$
Τώρα όπως φαίνεται στο σχήμα είναι :

$\left ( AB_1C_1 \right )=\left ( AC_1L \right )-\left ( AB_1E \right )-\left ( B_1C_1LE \right )=\dfrac{\left ( 4+\dfrac{t}{3} \right )\left ( 30-\dfrac{t}{2} \right )}{2}-\dfrac{\dfrac{t}{3}\left ( 22-\dfrac{t}{3} \right )}{2}-\dfrac{\left ( 4+\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3} \right )\left [\left ( 30-\dfrac{t}{2} \right )-\left ( 22-\dfrac{t}{3} \right ) \right ]}{2}=....=\boxed{\dfrac{t^2}{36}-2t+44}$

Όμως η $f(x)=\dfrac{t^2}{36}-2t+44$ έχει a>0

και παρουσιάζει ελάχιστο το $\dfrac{-\Delta '}{4a}=8$ και παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές από το

μέχρι το

στο οποίο ελαχιστοποιείται και μετά φθάνει εως και το

Άρα το εμβαδό παίρνει ακέραια τιμή $44-8+1+24-8=\boxed{53}$ φορές.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 10:28 pm
Ολυμπιάδα «Υψηλά πρότυπα» 2019, 11η τάξη (*)

2. Ο κύριος για μια ώρα στάθηκε στο σημείο με συντεταγμένες . Κατά την διάρκεια της ίδιας ώρας, κινήθηκε ευθύγραμμα και ομαλά, ο κύριος από το σημείο προς το σημείο . Κατά την ίδια ώρα η δεσποινίς , επίσης κινούμενη ευθύγραμμα και ομαλά, μετακινήθηκε από το σημείο στο . Πόσες φορές κατά την διάρκεια της παραπάνω χρονικής παρατήρησης το εμβαδόν του τριγώνου έλαβε ακέραια τιμή; Η αρχική και τελική στιγμή συμπεριλαμβάνονται.

Πιο σύντομα για την (2). Τη χρονική στιγμή

όπου $t \in [0,1]$ έχουμε A = (0,0), B = (22-20t,20t)

και

. Για το εμβαδόν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της ορίζουσας. Το εμβαδόν ισούται με $\frac{1}{2}|\det(X)|$ όπου

$\displaystyle \det(X) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 22-20t & 30-30t \\ 0 & 20t & 4+20t \end{vmatrix} = (22-20t)(4+20t) - 20t(30-30t) = 200t^2 - 240t + 88$

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με |100t^2 - 120t + 44| = (10t-6)^2 + 8

.

Θέλουμε να βρούμε για πόσες τιμές του $t \in [0,1]$ το (10t-6)^2 + 8

είναι ακέραιος. Ισοδύναμα θέλουμε $10t-6 = \pm \sqrt{n}$ για

φυσικό. Επειδή $10t-6 \in [-6,4]$ πρέπει $10t-6 \in \{-\sqrt{36},-\sqrt{35},\ldots,-\sqrt{1},0,\sqrt{1},\ldots,\sqrt{16}\}$ . Έχουμε λοιπόν 36+1+16 = 53

διαφορετικές τιμές του

.

Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα"

Μέλη σε σύνδεση