ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Μαρ 30, 2019 1:49 pm

Τα θέματα Junior 2019.
Κάντε δεξί κλικ και επιλέξτε ΠΡΟΒΟΛΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ώστε να φανεί η εικόνα όρθια.
Θα προσπαθήσω να φτιάξω αργότερα να φαίνεται όρθια αν τα καταφέρω.
Συνημμένα
20190330_142006.jpg
20190330_142006.jpg (1.35 MiB) Προβλήθηκε 2386 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Παρ Απρ 05, 2019 9:24 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Επιλογη Junior 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Σάβ Μαρ 30, 2019 2:04 pm

Λύση για το 1:
Έστω M το μέσο του AB
Έχουμε OM//EZ άρα \angle{AZ\Delta}=\angle{AOM}=\angle{AOM}=\angle{AOB}/2=\angle{A\Gamma B}=\angle{A\Gamma\Delta}.
Άρα το τετράπλευρο A \Gamma \Delta Z είναι εγγράψιμο.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Επιλογη Junior 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:10 pm

Πρόβλημα 4:
https://www.math.wisc.edu/talent/sites/ ... 1-3q_1.pdf

Άλλο ένα πρόβλημα δανεισμένο από το εξαιρετικό
WISCONSIN MATHEMATICS, ENGINEERING AND SCIENCE TALENT SEARCH


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5791
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Επιλογη Junior 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:15 pm

Πρόβλημα 3:

Θέτω x=a+b+c, \ y=ab+bc+ca, \ z=abc οπότε η ανισότητα γίνεται

(x+y)(1-z+z^2)\geq 3z(z+1).

Από την ανισότητα των μέσων έχουμε

x+y\geq 6\sqrt{z}\geq \frac{12z}{z+1}

οπότε αρκεί να είναι

1-z+z^2\geq \frac{(z+1)^2}{4},

που ισχύει (καταλήγει στο 3(z-1)^2\geq0).


Θανάσης Κοντογεώργης
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:43 pm

Στην πραγματικότητα το πρόβλημα 3 είναι κομμάτι ενός προβλήματος από την περσινή JBMO Shortlist.
Το πρόβλημα ζητούσε επιπλέον να δοθεί παράδειγμα ότι υπάρχει παράδειγμα με 13 μαύρα τετράγωνα που δεν μπορούμε να τα καλύψουμε με 4 γραμμές και 4 στήλες.
Το αφήνω σαν άσκηση.

Το ίδιο ισχύει και για το πρόβλημα 3.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Επιλογη Junior 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:47 pm

Λύση για το 2:
Η εξίσωση γράφεται:
3\cdot 2^{x}=(n-2)(n+2)
Δηλαδή αφου (n-2) , (n+2) είναι τα δυο ισοδύναμα mod 4, έχουμε δυο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: n-2=3\cdot 2^{a} και n+2=2^b
Δηλαδή 4=2^{b}-3\cdot 2^{a} \Rightarrow 2^{a}(2^{b-a}-3)=4 \Rightarrow a=2, b-a=2 \Rightarrow x=6 \Rightarrow n=14
Περίπτωση 2: n-2=2^{a} και n-2=3\cdot2^b
Δηλαδή 4=3\cdot 2^{b}- 2^{a} \Rightarrow 2^{b}(3-2^{a-b})=4 \Rightarrow b=2, a-b=1 \Rightarrow x=5 \Rightarrow n=10
Άρα (x,n)=(6,14), (5,10)


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Σάβ Μαρ 30, 2019 3:57 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:47 pm
Λύση για το 2:
Η εξίσωση γράφεται:
3\cdot 2^{x}=(n-2)(n+2)
Δηλαδή αφου (n-2) , (n+2) είναι τα δυο ισοδύναμα mod 4, έχουμε δυο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: n-2=3\cdot 2^{a} και n+2=2^b
Δηλαδή 4=2^{b}-3\cdot 2^{a} \Rightarrow 2^{a}(2^{b-a}-3)=4 \Rightarrow a=2, b-a=2 \Rightarrow x=6 \Rightarrow n=14
Περίπτωση 2: n-2=2^{a} και n-2=3\cdot2^b
Δηλαδή 4=3\cdot 2^{b}- 2^{a} \Rightarrow 2^{b}(3-2^{a-b})=4 \Rightarrow b=2, a-b=1 \Rightarrow x=5 \Rightarrow n=10
Άρα (x,n)=(6,14), (5,10)
Νομίζω πως λύση δεν είναι επαρκής.Για παράδειγμα αν x=2 τότε n=4


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 345
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μαρ 30, 2019 5:35 pm

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες! Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα δεν έπρεπε να δημοσιευτούν. Αν επιτρέπεται όμως έχω και στην κατοχή μου των μεγάλων! Ας μας διαφωτίσει κάποιος :)


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 552
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 30, 2019 5:41 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 5:35 pm
Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες! Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα δεν έπρεπε να δημοσιευτούν. Αν επιτρέπεται όμως έχω και στην κατοχή μου των μεγάλων! Ας μας διαφωτίσει κάποιος :)
Των μεγάλων δεν επιτρέπεται από ό,τι άκουσα.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Μαρ 30, 2019 5:49 pm

Καλησπέρα!

Ας σημειώσουμε ότι από το Πρόβλημα 3, έπεται το παρακάτω "γνωστό" πρόβλημα

(Τεστ Επιλογής Ολυμπιακής Ομάδας, Ινδία 1997/23η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2006/ Kvant A-M-S ανισότητα)

Αν a,b,c είναι θετικοί αριθμοί, τότε

\displaystyle{\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\geq \dfrac{3}{1+abc}.}

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8146
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιλογη Junior 2019

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 30, 2019 6:20 pm

Στο πρόβλημα-1, το \Delta μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο της πλευράς B\Gamma.


AlexNtagkas
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am

Re: Επιλογη Junior 2019

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexNtagkas » Σάβ Μαρ 30, 2019 6:25 pm

Θα μπορούσαμε βέβαια να ακούσουμε απόψεις για τα θέματα των μεγάλων χωρίς να αποκαλύψουμε κάτι(π.χ. Το 1 μου φάνηκε εύκολο το 3 δύσκολο) σωστά;;;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8146
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιλογη Junior 2019

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 30, 2019 6:41 pm

Πρόβλημα-1
Επιλογή Juniors 2019.png
Επιλογή Juniors 2019.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 1961 φορές
Έστω H το αντιδιαμετρικό του A. Είναι E\widehat DB=H\widehat AC ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών C\widehat BA, C\widehat HA και το ζητούμενο έπεται.


Όπως βλέπουμε το D δεν χρειάζεται να είναι μέσο του BC.


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 30, 2019 10:54 pm

JimNt. έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 5:41 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 5:35 pm
Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες! Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα δεν έπρεπε να δημοσιευτούν. Αν επιτρέπεται όμως έχω και στην κατοχή μου των μεγάλων! Ας μας διαφωτίσει κάποιος :)
Των μεγάλων δεν επιτρέπεται από ό,τι άκουσα.
Των μεγάλων δεν επιτρέπεται να δημοσιευτούν καθώς περιέχουν θέματα από την Shortlist της ΙΜΟ και οι κανόνες γι' αυτό είναι πολύ αυστηροί.
Θα δημοσιευτούν όπως και πέρυσι, μετά την δεύτερη ημέρα της φετινής ΙΜΟ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 345
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μαρ 30, 2019 11:03 pm

Οκ!!! :D


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 30, 2019 11:04 pm

Και μια λύση για το πρόβλημα 3 χωρίς να κάνουμε τις πράξεις.

Έστω abc=k^3 και a=k\dfrac{x}{y}, b=k\dfrac{y}{z}, c=k\dfrac{z}{x}, όπου k,x,y,z>0. Τότε η ανισότητα γράφεται
\displaystyle{\frac{z^2}{(ky+z)(kz+x)}+\frac{x^2}{(kz+x)(kx+y)}+\frac{y^2}{(kx+y)(ky+z)}\geq\frac{3k^2}{(1+k^3)^2}.}
Από την Cauchy-Schwarz
\displaystyle{\sum_{cyclic}\frac{z^2}{(ky+z)(kz+x)}\geq 
\frac{(x+y+z)^2}{(ky+z)(kz+x)+(kz+x)(kx+y)+(kx+y)(ky+z)},}
επομένως αρκεί
\displaystyle{\frac{(x+y+z)^2}{(ky+z)(kz+x)+(kz+x)(kx+y)+(kx+y)(ky+z)}\geq \frac{3k^2}{(1+k^3)^2}}
ή
\displaystyle{\left((1+k^3)^2-3k^3\right)(x^2+y^2+z^2)\geq \left(3k^2(k^2+k+1)-2(1+k^3)^2\right)(xy+yz+zx).}
Όμως x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx and (1+k^3)^2-3k^3>0, μένει να δείξουμε ότι
\displaystyle{(1+k^3)^2-3k^3\geq 3k^2(k^2+k+1)-2(1+k^3)^2,}
ή
\displaystyle{(k-1)^2(k^2+1)(k+1)^2\geq 0,}
που ισχύει.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
michaelg
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Απρ 02, 2019 7:23 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από michaelg » Τρί Απρ 02, 2019 7:38 pm

Γεια σας,

Ονομάζομαι Leonard Mihai και θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου για την επιλογή του προβλήματος 3 για το διαγωνισμό επιλογής. Ήταν μία από τις προτάσεις της Ρουμανίας για την JBMO του 2018. Το γνωρίζω διότι είμαι ο κατασκευαστής του προβλήματος.

Όπως είπε και ο Αχιλλέας, το Πρόβλημα 3 βελτιώνει αυτό της Ινδίας του 97. Ιδού η απόδειξη:

\displaystyle  \displaystyle{\frac{1}{3}\left( \frac{1}{a(b+1)} + \frac{1}{b(c+1)} + \frac{1}{c(a+1)} \right)^2 \geqslant \frac{1}{ab(b+1)(c+1)} + \frac{1}{bc(c+1)(a+1)} + \frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geqslant \frac{3}{(1+abc)^2}}
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Απρ 03, 2019 3:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετάφραση στα Ελληνικά + Γραφή σε LaTeX


billydot232
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 30, 2018 8:30 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από billydot232 » Τετ Απρ 03, 2019 9:12 pm

Επειδή έχουν αργήσει να βγάλουν τη λίστα με τα αποτελέσματα ξέρει μήπως κάποιος αν θα τα βγλάλουν αυτή τη βδομάδα ??


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Επιλογη Junior 2019

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Τετ Απρ 03, 2019 10:08 pm

billydot232 έγραψε:
Τετ Απρ 03, 2019 9:12 pm
Επειδή έχουν αργήσει να βγάλουν τη λίστα με τα αποτελέσματα ξέρει μήπως κάποιος αν θα τα βγλάλουν αυτή τη βδομάδα ??
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... O_2019.pdf
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... O_2019.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8146
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιλογη Junior 2019

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 05, 2019 10:28 am

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στον προκριματικό και

Καλή Συνέχεια στις ομάδες που θα μας εκπροσωπήσουν στην Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες