ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

petrosqw · #61

Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;

christinat · #62

petrosqw έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm
Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;

Έστω $x=\frac{p}{q}$ και $y=\frac{k}{l}$ ,όπου $p,q,k,l\in \mathbb{N}$ $(\neq 0)$

$y*x^{y}=y+1\Rightarrow \frac{k}{l}*\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{l}\Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}$

Αφού $(p,q)=1\Rightarrow (p^{\frac{k}{l}},q^{\frac{k}{l}})=1$ και (k,k+l)=1

τοτε

$k=q^{\frac{k}{l}}$ και $k+l=p^{\frac{k}{l}}$ (1)

$\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{l}{k}}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{1}{y}}$

Επειδή $x\in \mathbb{Q}$ πρέπει $k^{\frac{1}{y}}=1\Rightarrow k=1$

Όποτε $x=(l+1)^{\frac{1}{y}}\Rightarrow x=(l+1)^l$ και $y=\frac{1}{l}$

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Μέλη σε σύνδεση